Bộ đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. ĐỀ VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN NĂM 2022-2023 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022
2. Hướng dẫn giải: Bài 1. (2,5 điểm) 22 Cho A=(4+x+23+x) − 10( 1+ 3+x) a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 22. b) Tìm x biết A =−9. Lời giải Với điều kiện 3+x≥0⇔x≥−3 2 2 242 A=(1+3 +x)−10(1+3 +x)=(1+3 +x)−10(1+3 +x) a) Với x = 22 thì 3+x=322+=(1+2)2 ⇒3+x=1+2. 4222 Suy ra A =(2+2) −10(2 +2) =(2 +2)  (2+2) −10 . Do (2+2) 2 =642 +⇒A =(6 + 4 2)(− 4+ 4 2)= 8+ 8 2 . b) Đặt t=1+3+xt(≥1) . Biểu thức A trở thành A=t4−10t2 42 22 t =±1 A=−9⇔t−10t+ 90=⇔(t− 1)(t−9) =0 ⇔ t =±3 Do t ≥1 nên t =1 hoặc t = 3 . Với t=1⇒1+3+x=1⇔3+x=0⇔x=−3 (nhận). Với t=3⇒1+3+x=3⇔3+x=2⇔3+x=4⇔x=1 (nhận). Vậy A =−9 tìm được các giá trị x là −3;1 . Bài 2. (2,0 điểm) Cho Parabol (P) :y=−2x2 và hai điểm A(−1; 0 ) , B(1;− 2 ) . a) Vẽ đồ thị (P) và hai điểm AB, trên cùng hệ trục toạ độ. b) Viết phương trình đường thẳng (d ) song song với AB và tiếp xúc với (P) . Lời giải a) Vẽ đồ thị hàm số y=−2xP2 ( ), ta có bảng sau: x -2 -1 0 1 2 y=−2x2 -8 -2 0 -2 -8 y -2 -1 0 1 2 A x B -2 -8 (P) b) Gọi (d':) y= ax+ b là phương trình đường thẳng qua hai điểm A(− 1; 0),B (1;− 2) . Liên hệ tài liệu word toán SĐT: 038.373.2038
3. Xét ∆CML và ∆CAB có CLM = CBA ( Tứ giác BMLA nội tiếp) MCL = ACB (góc chung) Nên hai tam giác CML, CAB đồng dạng CMML CL ⇒== (1). CAAB CB 1 a) M là trung điểm BC⇒ CM= BC 2 1 ⇒CM. CB= BC 2 =2. 2 Từ (1)⇒CL . CA= CM. CB =2 . b) Từ (1) ⇒ABLC.= BC. LM . c) BL là tia phân giác ABC⇒ MBL = ABL Mà B, M, L, A cùng thuộc một đường tròn nên LM= LA. 2 Từ câu a) ⇒LM= LA= AC− CL= AC − . AC 2 2 2⋅AC −( AC 2 − 2) BC⋅ LM AC  2 Từ câu b)⇒AB ===AC =AC −2. LC 22 AC AC ∆ABC vuông tại C⇒AB2= AC2+ BC2= AC2+4=( AC2−2) +6= AB +6 (2). Từ (2)⇔ (AB−3)( AB+2)0 =⇒ AB =3( vì AB > 0) . Bài 5. (1,0 điểm) Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dứa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg. a) Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng. b) Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg? Lời giải a) Gọi x, y, z lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5 kg; bằng 1,5 kg; nhẹ hơn 1,5 kg. (trong đó x, y, z là các số nguyên dương). Khi đó ta có 1,73x+ 1,5y+1,33 z= 1,5.100= 150 (1) .
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU Năm học: 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi:09/06/2022 Câu 1 (3,0 điểm). x−2 x+22(x− 1) = − ≥≠ a) Rút gọn biểu thức P 2 : 2 với x0,x 1. (x−1)(x+ 1) (x+ 1) (1− x) b) Giải phương trình: x2 −3x+2(−x−1) 2x− 5=0 . x2 +4xy+ x −20= c) Giải hệ phương trinh:  2 . 4y+x+4y−10= Câu 2 (2,0 điểm). ac a) Cho các số thực abcd,,, thỏa mãn ≥ 2 . Chứng minh phương trình sau luôn bd+ có nghiệm ( x2+axbx+)( 2+ cx+ d ) =0 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;xy ) thỏa mãn phương trình (xy+)(2 x+3) y2 +2 xy++2= 0 . Câu 3 (1,0 điểm). Với các số thực dương xyz,,thỏa mãn 2( x2+y2+z2) =3(yx+ z) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=2(xyz++) −( x2+z2) . Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC)nội tiếp đường tròn tâm O và có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của AH và BC . a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với EF và IJ song song với OA . b) Gọi KQ, lần lượt là giao điểm của EF với BC và AD . Chứng minh rằng QEKE = . QFKF c) Đường thẳng chứa tia phân giác của FHB cắt AB, AC lần lượt tại M và N . Tia phân giác của CAB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm P khác A . Chứng minh ba điểm HPJ,, thẳng hàng. Câu 5 (1,0 điểm). Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038
5.  −1+17− 5− 17  y=⇒x= 2242 4y−32−y+ 4y−10=⇔ 2y+y−2= 0⇔  −1−17− 5+ 17  y=⇒x=  42 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm 1−5−17− 1+17− 5+17− 1− 17  (1; 0) ; 2;− ; ;;; . 22424 Câu 2 (2,0 điểm). ac a) Cho các số thực abcd,,, thỏa mãn ≥ 2 . Chứng minh phương trình sau luôn bd+ có nghiệm ( x2+axbx+)( 2+ cx+ d ) =0 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;xy ) thỏa mãn phương trình (xy+)(2 x+3) y2 +2 xy++2= 0 . Lời Giải: x2 +ax+ b =0(1) ⇔ a) Phương trình đã cho  2 . x+cx+ d =0(2) 2 2 Ta có ∆1 =a−4b và ∆2 =c−4d Giả sử phương trình này vô nghiệm, khi đó cả hai phương trình (1), (2) đều vô ∆(1) a2 ⇔⇒>>⇒+> nghiệm. Tức là 2 b0;d0 bd 0 . ∆(2) c ac Lúc này theo giả thiết thì ≥2⇒ac≥2( b+ d ) . bd+ 1 Tuy nhiên điều này vô lý do 2(bd+ ) >(a 2+c2) ≥ac . 2 Vậy với điều kiện đề cho thì pt ( x2+axbx+)( 2+ cx+ d ) =0 luôn có nghiệm a=x+ y b/ Đặt  b=2x+ 3y Khi đó 2x+y+2=4x+4y−2x−3y+2 =4( x+y) −(2x+3y) +2=4ab−+2 Ta có (xy+)(2 x+3) y2 +2 xy++2= 0 ⇔ab2 +4a − b +20= Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038
6. Câu 3 (1,0 điểm). Với các số thực dương xyz,,thỏa mãn 2( x2+y2+z2) =3(yx+ z) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=2(xyz++) −( x2+z2) . Lời Giải: Ta có : 3(yxz+)2=y 2+2( x2+z2) ≥2y2+(xz+)2 ⇒3(yxz+)2≥y 2+(xz+)2 ⇒ (xz+)2−3(yxz +)2+y 2≤0 2 xz+xz + ⇒−3+20≤ yy xz+ ⇒1≤≤2. y Do đó : 22 22 22 22311 3 P≤4(xz+ )−x −z=2 xzx+−−z ≤xz++1−x −z=−x−−z−≤ 222 2 . 1 Đẳng thức xảy ra ⇔x=z=;y=1. 2 3 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là . 2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC)nội tiếp đường tròn tâm O và có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của AH và BC . a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với EF và IJ song song với OA . b) Gọi KQ, lần lượt là giao điểm của EF với BC và AD . Chứng minh rằng QEKE = . QFKF c) Đường thẳng chứa tia phân giác của FHB cắt AB, AC lần lượt tại M và N . Tia phân giác của CAB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm P khác A . Chứng minh ba điểm HPJ,, thẳng hàng. Lời Giải: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038
7. A J E Q O F H N G L M R P K B D I C T c) Ta có AMH= MBH + MHB = NCH + NHC = HNA ⇒∆AMN cân tại A ⇒ AP là đường kính của (AMN) ⇒ PM// HC, PN// HB . Gọi G là giao điểm của PM, HB và L là giao điểm của PN, HC . Khi đó tứ giác HGPL là hình bình hành nên HP đi qua trung điểm R của GL . Đến đây sử dụng định lý Talet và tính chất đường phân giác ta được GHMF HF == ; GBMB HB LH NE HE == . LC NC HC HFHE Tuy nhiên hai tam giác HFB, HEC đồng dạng nên = . HBHC GHLH ⇒=⇒ GL// BC GBLC Cho HR cắt BC tại I′ Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038
8. 4 ⇒S+S≥S. 123 AM AN Đẳng thức xảy ra ⇔=⇔d// BC . AB AC 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S+ S là S , đạt được khi và chỉ khi d// BC . 12 3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038
9. SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ NĂM HỌC 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) (Hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang) Câu I (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm a) Rút gọn biểu thức: A =( 2 +− 1)22 ( 2 − 1) 0,5 1 A =21 +− 21 − = 21 +− 212 += 0,5 2 Tọa dộ giao điểm của (d) và (d’) là A(-1;-2) 0,5 Để ()∆ , (d) và (d’) cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi A thuộc ()∆ 1 Khi đó ta có−2mm .( − 1) + − 3 =−⇔ 2 3 mm =⇔ 1 = 3 0,5 1 Vậy m = thì 3 đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm A(-1;-2) 3 3 3) Phương trình x2 −2 mx + 2 m −= 10 có hai nghiệm dương khi và chỉ ∆='mm2 − 2 + 10 ≥  0,5 Pm=2 −> 10  Sm=20 > (mm− 1)2 ≥∀ 0   11 ⇔mm > ⇒> 0,5  22 m > 0 Câu II (3,0 điểm) Phần Nội dung Điểm xy+2 x +−=⇔ y 1 0 x ( y +++−=⇔+ 2) (y 2) 3 0 (y 2)(x += 1) 3 0,5 1 Vì x, y nguyên nên (y+2) và (x-1) thuộc Ư(3) ={−−3; 1;1; 3} Học sinh tìm được cặp số nguyên (x;y ) = (-4;-3); (-2;-5);(0;1); (2;-1) 0,5 Tổng giá trị 1 chiếc Tivi và 1 chiếc tủ lạnh ông An mua là 16 300 000 ( đồng) 2 0,5 Số tiển ông An phải trả khi được giám giá 10% là. 16300000.90% = 14 670 000 (đồng ) 1
10. Xét hai tam giac CIE và CBA có ∠ICE chung; ∠EIC =∠ABC =900 0,5 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 1 CI CE Suy ra ∆∆−CIE CBA(g g ) ⇒=⇔CI. CA = CE . CB (dpcm) 0,5 CB CA Ta có EI⊥ BC ( Do ∠EIC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(1) 2 Vì BD ⊥ AC tại H, và HA = HE; HB = HD nên tứ giác ABED là hình 0,5 thoi Suy ra DEAB, mà AB ⊥ BC nên DE⊥ BC(2) 0,5 Từ (1) và (2) ta có 3 điểm D,E,I thẳng hàng. Ta có tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn đường kính DC nên ta có ∠BIH = ∠BDC = (1800 - ∠HIC ) 3 Lại có ∠BAC =∠IEO’ ( đồng vị ); ∠IEO’ = ∠O’IE 0,5 ( do tam giác O’IE cân tại O’) Suy ra ∠BIH = ∠O’IE mà ∠BIH+∠HIE = 900 nên ∠HIE+∠ O’IE=900 suy ra HI ⊥ O’I hay HI là tiếp tuyến của (O’) Ta có AC 2 22 2 2 2 0,25 O' I+ HI O'H 4 R R 2S∆∆O'' IH = O '. I HI ≤ ===⇒≤S O IH 2 2 22 4  R2 4 O'. I HI = R Dấu = xảy ra khi  2 ⇒==O' I HI ( Do O’I > 0, HI >  2 O' I= HI 0) R R Ta có O’H = R; mà O’E = O’I = suy ra AH = HE = R - = 0,25 2 2 R( 2− 1) 2 R( 2− 1) Vậy AH = thì diện tích tam giác O’IH lớn nhất. 2 3
11. Tuyển sinh vào chuyên Toán 10 Tỉnh Bắc Kạn 15x− 11 3 xx −+ 2 2 3 Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức A = −− xx+−23 x − 1 x + 3 1. Rút gọn biểu thức A. 13 2. Tìm các giá trị của x để A = − . 6 Câu 2. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình xx22+−9 2 xx +−−= 9 140. x22−34 xy +=− y 2. Giải hệ phương trình  . x++ y xy =2 Câu 3. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (Pyx) : = 2 và đường thẳng (d) :2 y= mx −−+ m2 23 m (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt AB, cùng nằm bên phải trục tung. 2. Tìm các số nguyên tố xyz,, thỏa mãn 5( x++ y z) = xyz . Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung CD cố định (CD không là đường kính). I là một điểm di dộng trên tia đối của tia DC ( I không trùng với D ). Qua I kẻ hai tiếp tuyến IA, IB ( AB, là hai tiếp điểm) với đường tròn (O) . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CD . 1. Chứng minh năm điểm AI,, BHO , , cùng thuộc một đường tròn. 2. Gọi E là giao điểm của IO và AB . Chứng minh DEC = DOC . 3. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi I di động. Câu 5. (1,0 điểm) Cho xyz>>>0, 0, 0 thoả mãn xyz++≥2 3 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 91 Pxyz=++++++10. 48x yz Hết