Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Dành cho thí sinh chuyên Tin - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Dành cho thí sinh chuyên Tin - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình x2 −2( m − 2) xm + 2 −= 5 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 11 biệt xx12, thỏa mãn +=3. xx12 10 3 10 3 b) Chứng minh rằng P =+3322 +− là số nguyên. 99 Câu 2 (2,0 điểm). 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2 xy ++ 8 x 4( y − 4) = 0. b) Chứng minh rằng nếu mn, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022mm22+= 2023 nn + thì 2022(mn++) 1 là số chính phương. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 4xx2 −+−+= 3 15 3 x 1 0. b) Cho hai số thực ab, phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau (n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b. Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AA1, đường trung tuyến BB1 và đường phân giác trong CC1. Gọi DEF,, lần lượt là giao điểm của AA11,, BB CC 1 với (O). Biết ABC111 là tam giác đều. a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, I là giao điểm của AN và FM. Tính AIF. c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm của CK. JA Tính tỉ số . JF Câu 5 (1,0 điểm). Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn a22 b+ ab −2( a ++ b ab) =0. Tìm giá 2 2(a33 b+ ab) ++( 12 ab) − 3 trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 2ab HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. Câu 2 (2,0 điểm). 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2 xy ++ 8 x 4( y − 4) = 0. b) Chứng minh rằng nếu mn, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022mm22+= 2023 nn + thì 2022(mn++) 1 là số chính phương. Nội dung Điểm 2 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 −2 xy ++ 8 x 4( y − 4) = 01( ) 1,0 2 Phương trình (1) ⇔−−+−=x2 244402( yxy) ( ) ( ) Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện của y để 0,25 phương trình (2) có nghiệm ⇔∆′ ≥0 22 2 ⇔( yy −4) − 4( − 4) =−− 3( y 4) ≥⇔= 0 y 4. 0,25 Với y = 4 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = 0. 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là ( xy;) = ( 0;4) . 0,25 b) Chứng minh rằng nếu mn, là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022mm22+= 2023 nn + 1,0 thì 2022(mn++) 1 là số chính phương. 2022mm2+ = 2023 nn 2 +⇔ 2022 m 22 − 2022 nmnn + −= 2 0,25 ⇔(mn −)(2022 m + 2022 n += 1) n2 ( 1) . + TH1: Với mn= từ (1) suy ra mn= =0 ⇒ 2022( mn +) += 1 1 là số chính phương. + TH2: Với mn≠⇒ mn −>0. Gọi (mn−; 2022 m + 2022 n += 1) d 0,25 mnd−  ⇒ ⇒n22 d ⇒⇒ nd  md. 2022m++ 2022 nd 1  ⇒2022m + 2022 nd ⇒ 1 d ⇒= d 1. 0,25 ⇒(mn −; 2022 m + 2022 n += 1) 1 hay mn− và 2022mn++ 2022 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. 2 0,25 Mặt khác (mn−)(2022 m + 2022 n += 1) n là số chính phương nên suy ra 2022(mn++) 1 là số chính phương (đpcm). Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 4xx2 −+−+= 3 15 3 x 1 0. b) Cho hai số thực ab, phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau (n ≥ 3) sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b. Nội dung Điểm a) Giải phương trình 4xx2 −+−+= 315310 x (1.) 1,0 3x −≥ 10 2 − + = −⇔ Phương trình 4xx 31531 x  2 2 0,25 4xx−+= 31531( x −)  1 x ≥ ⇔  3 0,25 22 4315961xx−+= xx −+ Trang 2/6
3. Nội dung Điểm a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 1,0 1 Xét tam giác AA C vuông tại A có B là trung điểm cạnh AC nên A B= AC 0,25 1 1 1 11 2 1 Suy ra B C= AC ⇒∆ AC C vuông tại C , mà CC là đường phân giác của góc C 11 2 1 1 1 0,25 nên C1 là trung điểm cạnh AB. 1 Lại có A C= B C = AC nên AC là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra A 11 11 2 11 1 0,25 là trung điểm cạnh BC. Vậy ABC,, lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,,. CA AB Suy ra ∆ABC đều 111 0,25 (đpcm). b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE, N là trung điểm của đoạn thẳng CD, 1,0 I là giao điểm của AN và FM. Tính AIF. Vì ∆ABC đều nên AFBDCE là lục giác đều. 0,25 Do đó sđ AF = sđ FB = sđ BD = sđ DC = sđ CE = sđ EA =60 ° . Xét ∆FCM và ∆ADN có FC= AD, CM = DN, FCM = ADN = 60 ° . 0,5 Suy ra ∆=∆FCM ADN (c-g-c) ⇒= DAN CFM. ⇒=⇒ OAI OFI OIAF là tứ giác nội tiếp ⇒= AIF AOF =°60 . 0,25 Trang 4/6
4. JA IA 3 Suy ra = = . JF IF 4 Câu 5 (1,0 điểm). Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn a22 b+ ab −2( a ++ b ab) =0. Tìm giá 2 2(a33 b+ ab) ++( 12 ab) − 3 trị nhỏ nhất của biểu thức P = . 2ab Nội dung Điểm Ta có a22 b+ ab −2( a ++ b ab) =⇔ 0 ab( a + b) = 22( a + b) + ab 0,25 22 8 2 ⇔+=ab ++≥2 +⇔ 2 (ab +) −2( ab +) −≥⇒+≥ 8 0 ab 4. a b ab+ 2 2 11 1 Lại có a22 b+ ab −2( a ++ b ab) = 01 ⇔= + ⇔ = − . 0,25 ab a++ b ab2 a b 22 2(a3 b+ ab 3) ++( 12 ab) − 3 2 ab( a22 + b) ++(12 ab) − 3 P = = 22ab ab 2 (12+−ab) 3 2 1 =a22 + b + =(ab +) +−2 0,25 2ab ab 2211 13 =2(ab++−−)  =++(ab) + 22ab++ ab 2264 64 127 3 64 64 127 3 71 =+++−+≥+(ab) 33 (ab) −+=. +++ ++ abab ab2 abab 4 24 0,25 71 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab= = 2. 4 Hết Trang 6/6