Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên năm học 2021-2022 môn Toán - SGD&ĐT Lào Cai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên năm học 2021-2022 môn Toán - SGD&ĐT Lào Cai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn: Toán (Chuyên 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 03/06/2021 Đề thi gồm có 01 trang Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tìm tất cả các giá trị a a a a a 2 nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 x1 2mx1 2m 1 x2 2mx2 2m 1 0. Câu 3. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng: a) AF 2 AP.AD b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phân giác của ·PQT d) ·ADF ·QDE Câu 4. (2,0 điểm)
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức A : với a 0; a 1; a 2 . Tìm tất cả các giá trị a a a a a 2 nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021. Lời giải: a 0 a) Với: a 1,2 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 2 Ta có: A : : a a a a a 2 a a 1 a a 1 a 2 a a 1 a a 1 a 2 a 2 2a 4 8 A : 2 2 a a a 2 a 2 a 2 a 2 8 Để A ¢ 2 ¢ a 2 U 8 1; 2; 4; 8 a 2 a ¢ Do: a 2 5 a 2 8 a 6 TM a 1;2 Vậy a 6 A ¢ b) Đặt: M x5 2x4 2021x3 3x2 2018x 2021 x5 2x4 2020x3 x3 2x2 2020x x2 2x 2020 1. M x3 x2 2x 2020 x x2 2x 2020 x2 2x 2020 1 x2 2x 2020 x3 x 1 1 Mà: x 1 2021 x 1 2021 x 1 2 2021 x2 2x 2020 0. M 1 Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:
3. a) AF 2 AP.AD b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NM.NA. c) QA là phân giác của ·PQT d) ·ADF ·QDE Lời giải: A 1 2 T P E Q F I O 2 B C 1 D M N 1 a) Xét AFP và ADF có: ·AFP ·ADF F»P ; ¶A Chung 2 AF AP AFP ∽ ADF g .g AF 2 AP.AD (đpcm) AD AF b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của I AI là trung trực của FE AI  FE tại Q. AP AI A F 2 AQ.AI (hệ thức lượng) AQ.AI AP.AD A F 2 AQ AD AP AI Xét APQ và AID có: cmt ; ¶A Chung AQ AD APQ ∽ AID c.g .c ·AQP ·ADI PQID nội tiếp (vì: ·AQP là góc ngoài tại đỉnh Q) ¶ ¶ » » ¶ ¶ Ta có: A1 A2 (vì: AI là tia phân giác) NB NC B1 A2
4. x3 y3 z3 2 x2 y2 z2 x y z VT 2 x2 y2 z2 x y z 2 x2 y2 z2 3 VT x2 y2 z2 x y z 3 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 x y z 3.3 3 VT x2 y2 z2 x y z 6 Mà: x2 1 2. x2 .1 2x ; y2 1 2. y2 .1 2y ; z2 1 2. z2 .1 2z x2 y2 z2 2 x y z 3 VT 2 x y z 3 x y z 6 x y z 3 (đpcm) Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x2 2x 2y2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y3 p 6xy 8. Tìm giá trị lớn nhất của p . Lời giải: a) Ta có: x2 2x 2y2 2 xy 1 x2 2x 2y2 2xy 2 x2 2xy y2 y2 2x 2 x y 2 2x y2 2y 1 2y 3 x y 2 2 x y y 1 2 3 x y 2 2 x y 1 y 1 2 4 x y 1 2 y 1 2 4 02 22 x y 1 0 x y 1 0 y 1 0 y 1 0    y 1 2 y 1 2 x y 1 2 x y 1 2 x 4 x 0 y 1 y 1    y 3 y 1 x 0 x 4 Vậy x ; y 4 ; 3 ; 0; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 1 . b) Ta có: x3 y3 p 6xy 8 p x3 y3 6xy 8 p x y 3 3xy x y 6xy 8 p x y 3 8 3xy x y 2 p x y 2 x y 2 2 x y 4 3xy x y 2 1 2 Do p là số nguyên tố nên: 2 x y 2 x y 4 3xy 1 x y 2 x y 4 3xy 1 (Vì: x; y ¢ x y 2 4 ) x y 2 2 x y 4 3xy 1 x2 2xy y2 2x 2y 3xy 3 x2 xy y2 2x 2y 3 4x2 4xy 4y2 8x 8y 12 2x y 2 3y2 4 2x y 4 12y 12 4