Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên quốc học năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên Toán) - SGD&ĐT Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên quốc học năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên Toán) - SGD&ĐT Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THỪA THIÊN HUẾ CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN CHI TIẾT xx22 Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A . xx x xx 0; 1 . xx 21x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả số nguyên x sao cho biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Lời giải: xx22 a) A . xx x xx 21x 1 xx 22 2 .1xx xx 11 x 1 xx 2 1 x 2. x 1 2 .xx 11 x xx 11 xx 22 xx 2 .xx 11 x xx 11 22xx 2 .xx 11 x x 1 xx 11 b) Ta có 22x Ax 22 xx 11 2 Để A là số nguyên thì 2 x và phải là số nguyên x 1 2 x 0 Ta có là số nguyên khi x 1 x 1( loai ) Thử lại Với xA 00 (TM) Vậy x 0 thì A là số nguyên.
2. 13 x 2 13 y xy 0 x y 2 Giải hệ phương trình 1: 22 xyy 2 10 2 y 2 y 10 13 x 2 13 y 2 2 22 22 x xy x y 10 x xy 2 y 110 x xy2 y 0 Giải hệ phương trình 2: 22 2 x2 y y 10 xy 21 y xy2 y 1 13 x 2 13 y 2 13 xy x 2 2 x yx 20 y xy 21 y 13 2 xy 21 y xy 2 y 2 xy 21 y2 x 2 y 1 x 1 1 y 2 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:  1 31 3131 3 1 xy;  ; ; ; ; 2;1 ; 1;  22 22 2
3. 22 aa2 6 b 2 3 a 10 b22 b aa 2 6 b 2 3 a 10 b22 b 0 32 3 22 4 6 aa a a 3 a b 60 ab 100 b 0 3 60 100 0 bb22 b 2 a 10 b2 a Giải phương trình ta được 2(l ) b2 a 5(l ) b2 22 2 x 5 29 Suy ra a 10 b x 6 10 x 1 x 10 x 4 0 ()TM x 5 29 Vậy xx 5 29; 5 29 Câu 4: (3.0 điểm ) Cho đường tròn O và dây BC cố định không đi qua O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn AB AC . Gọi AD,, BE CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF; I là giao điểm thứ hai của KA với O ; M là trung điểm BC; N là giao điểm thứ hai của AH và O . Chứng minh: a) Tứ giác AIFE là tứ giác nội tiếp. b) Ba điểm MHI,, thẳng hàng. c) Tứ giác INMO là tứ giác nội tiếp. d) Đường thẳng IN luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. Lời giải
4. 1 Suy ra NOM NOT 4 2 Từ 3 và 4 suy ra NIM NOM d) Gọi S là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn O tại B và OM. Suy ra S cố định. Ta cần chứng minh INS,, thẳng hàng Gọi L là giao điểm của IS và đường tròn O Vì OBS vuông nên SB2 SM SO SL SI Suy ra tứ giác OMLI nội tiếp Ta có tứ giác OMLI và OMNI cùng nội tiếp đường tròn ngoại tiếp OMI và cắt O tại giao điểm thứ hai là L và N nên N và L trùng nhau. Vậy INS,,thẳng hàng hay IN đi qua S cố định. Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả số nguyên xy, thỏa mãn x32 xy 1 x 7 y 4 y 0. b) Cho xyz,, là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3. Chứng minh rằng x y z3 xyz 2 22 . . xyz 15 15 15 32 Lời giải a) Ta có: x32 xy 1 x 7 y 4 y 0. xx32 7 x 4 yxx 2 10 xx2 1 xy 2 xx2 12 x2 4 x 3 x2 x1 xy 22 x 1 x 3 Biện luận theo x ta có các bộ số thỏa mãn xy; 0; 4 ; 1;3 ; 3;5  . b) Ta có: xx x x x x22 15 x 3 12 x 2 xy yz zx 12 x yx z 12 48 x yx z 11 1 1 11 1 x (Theo bất đẳng thức ) 48 4 x yy z ab 4 a b x 11 11 1 11 1 (Theo bất đẳng thức ) 16 2 xyz 2 ab 2 ab