Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Điện Biên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Điện Biên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán (Chuyên) Đề chính thức Ngày thi: 15/7/2020 (Có 01 trang) Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu 1. (2,0 điểm). a2 − a2 aa +− 2(a 1) 1. Cho biểu thức: P = −+ ( với aa>≠0, 1). aa++11 a a− a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .  1 21x −+ = 1  y + 3 2. Giải hệ phương trình:  3 41x −− = 7  y + 3 Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình: x2 −5 mx −= 40 m ( với m là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó. b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx12, thì: 22 x12+5 mx + m + 14 m +> 1 0 . Câu 3. (2,0 điểm). a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 900 sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang trái rồi đi thẳng 3m , quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B . Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot. ab22+ b) Cho hai số ab, thỏa mãn ab>>0 và ab.1= . Chứng minh: ≥ 22. ab− Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ()O . Đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Kéo dài BE, AO cắt đường tròn ()O lần lượt tại F và M . a) Chứng minh ∆HAF cân. b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh ba điểm HIM,, thẳng hàng và AH= 2 OI . c) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn ()O để DH. DA lớn nhất. Câu 5. (1,0 điểm). yz xz xy a) Cho xy++= yz xz 0 và xyz ≠ 0 . Chứng minh rằng: ++=3 . xyz2 22 b) Cho n là số nguyên dương. Biết rằng 21n + và 31n + là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40 . Hết
2. b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx12; thì 22 x12+5 mx + m + 14 m +> 1 0 . 2 PT có 2 nghiệm phân biệt xx12; thì ∆=25mm + 16 > 0 0,25 2.b 22 và x−5 mx −=⇔= 40 m x 5 mx + 4 m và xx+=5 m 0,25 (1,0đ) 11 1 1 12 22 2 Xét P=+ x125 mx ++ m 14 m +=++ 1 5 mx1 4 m 5 mx 2 ++ m 14 m + 1 22 0,25 =5mxxmm (12 ++++=++ ) 18 1 26 mm 18 1 Suy ra P=25 m22 + 16 mm + + 2 m + 1 =∆+ ( m + 1)2 > 0 (vì ∆>0). Đpcm. 0,25 a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 900 sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang trái rồi đi thẳng 3m , quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B . Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot. Học sinh vẽ được hình minh họa 5 B 0,25 3 3.a A 2 (1,0đ) Kẻ AC⊥ BC như hình vẽ: 5 B 0,25 3 A C 2 Ta có: AC=7; BC = 3 0,25 ⇒AB =723 += 3 58 0,25 Vậy khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot là 58 ab22+ b) Chứng minh: ≥ 22. Với ab>>0 và ab.1= . ab− a22+ b( ab −+ )2 2 2 Vì ab.1=⇒ = =−+()a b 0,25 ab−− ab ()ab − 22 Do ab>>⇒0() ab − + ≥ 2().22ab − = (BĐT AM-GM) 0,25 ()ab−− ()ab 3.b 2 Dấu bằng xẩy ra khi: ()ab− = ⇔ ()2ab −2 =⇔−= ab 2 (1,0đ) ()ab−  26+ a= (/tm ) 0,25 1 2 62− ⇔−ab =2 ⇔ ⇒= a  26− 2 a = ()Loai  2 ab22+ 62+− 62 Vậy ≥ 22. Dấu bằng xẩy ra khi ab=; = 0,25 ab− 22
3. 111 1 1 1 3 Áp dụng công thức trên ta có: ++=⇒0 + + = x y z x3 y 33 z xyz 0,25 yz xz xy 111 Lại có: 2++= 22xyz  3 ++ 33 =3. (Đpcm) xyz xyz b) Cho n là số nguyên dương. Biết rằng 21n + và 31n + là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40 . Đặt 21n+= xx2 ⇒ lẻ ⇒=−2nx( 1)( x + 14) vì xx−+1; 1 chẵn ⇒ n chẵn Đặt 31n+= yy2 ⇒ lẻ (do n chẵn) và 3ny=−+( 1)( y 18) vì yy−+1; 1 là 0,25 5.b hai số chẵn liên tiếp mà (3; 8)= 1 ⇒ n 8 (1) . (0,5đ) Ta có một số chính phương chia cho 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4. Mặt khác x2+ y 2 =52 n +⇒ xy22 , chia cho 5 dư 1 22 0,25 Nên n=(3 n +− 1) ( 2 n += 1) ( yx −)5 (2). Từ (1), (2) và (5;8)= 1 ⇒ n40 . Đpcm. (Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)