Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 - Trường PT Năng Kiếu - ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 - Trường PT Năng Kiếu - ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Năm học 2020 -2021 HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm) Cho các phương trình x2 ax 30 và x2 bx 50 với ab, là tham số. a) Chứng minh rằng nếu ab 16 thi hai phương trình trên có ít một phương mình có nghiệm. b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung x0. Tìm ab, sao cho ab có giá trị nhỏ nhất. Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình 3xy22  23n với n là số tự nhiên. a) Chứng minh rằng nếu n chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên xy;. b) Chứng minh rằng nếu n lẽ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên xy;. Câu 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn O , dây cung BC không chứa O và điểm A thay đổi trên cung lớn BC . Lấy các điểm E và F thỏa mãn ABE CAE ACF BAF 900 . a) Chứng minh AE  AB AF AC. b) Hạ AD vuông góc với EF D EF . Chứng minh các tam giác DAB và DAC đồng dạng và điểm D thuộc một đường tròn cố định. c) Gọi G là giao điểm của AD với đường tròn OGA ,. Chứng minh AD đi qua một điểm cố định và GB  AC GC AB. d) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh AK đi qua một điểm cố định. Câu 4. (1,5 điểm) Cho số tự nhiên a 313  5 7 7. 20 a) Gọi A là tập hợp các số nguyên dương k sao cho k là ước của a và k chia hết cho 105. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? b) Giả sử B là một tập con bất kỳ của A có 9 phần tử. Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của B sao tích của chúng là số chính phương. Câu 5. (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k là tham số: x xx k yz yz y yy k . zx zx z zz k xy xy a) Giải hệ với k 1. b) Chứng minh hệ vô nghiệm với k 2 và k 3. HẾT
2. a) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2 2 mx 3 0. Ta thấy ac 1  3 30 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt xx12; trái dấu nhau. Do đó P luôn cắt d tại hai điểm phân biệt Ax 11; y , Bx 2 ;2 y với mọi m. Áp dụng định lý Viete, ta có: xx12 2 m và xx12 3. 2 Do đó y12 y 2 mx 1 3 2 mx2 3 2 m x12 x 6 4 m 6. 2 Vậy yy12 4 m 6. 2 2 b) Ta có: yx11 và yx22 nên phương trình tương đương: 22 2 2 x1 443344 x 2 x 1 x 2 xx 12 x 1 xx 12 x 2 x 1 x 2 xxxxxx121212 4 4 xx 12 140 xx 12 xx 1 12. xx12 4 2 Nếu xx12 4 thì xx12 43 x 2 vô lý. 1 Nếu xx 1 thì 21m hay m . 12 2 1 Vậy m là giá trị duy nhất cần tìm. 2 Câu 4. Gọi x (tấn) là lượng gạo nhập vào khi trong ngày thứ nhất với x 0. Khi đó lượng gạo nhập vào kho trong các 6 6 36 36 216 ngày thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt là 120%xx , 120% x x và 120% xx . 5 5 25 25 125 6 36 91 a) Tổng lượng gạo đã nhập vào kho sau ngày thứ ba là xx x x (tấn). 5 25 25 91 Theo giả thiết ta có: xx 91 25. 25 Vậy ngày thứ nhất kho hàng đã nhập 25 tấn gạo. 6 36 216 671 b) Sau ngày thứ tư, tổng lượng gạo đã nhập vào kho là xx x x x (tấn). 5 25 125 125 1 671 Do đó, lượng gạo trong kho đã xuất trong các ngày thứ năm và thứ sau lần lượt là x tấn và 10 125 1 9 671 9 671 xx tấn. Theo giả thiết ta có: 10 10 125 100 125 1 671 9 671 xx 50,996 x 50. 10 125 100 125 Vậy ngày thứ nhất kho hàng đã nhập 50 tấn gạo. Câu 5.