Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Hà Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NAM NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,0 điểm). 1) Giải phương trình xx2 2 30 3 x 3 y 52 xy 2) Giải hệ phương trình xy 23 Câu 2 (2,0 điểm). 1) Rút gọn biểu thức A 23 27 4 23 x xx 1 2) Cho biểu thức B : (với x 0, x 1). x 1 xx x 1 Rút gọn biểu thức B. Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức B nhận giá trị âm. Câu 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P có phương trình yx 2 2 và đường thẳng d có phương trình y 2 xm ( m là tham số). 1) Tìm m để đường thẳng ( d ) đi qua điểm M 23;. 2) Tìm điều kiện của m để parabol P cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt. Gọi Ax 11;, y Bx 22; y là hai giao điểm của parabol P và đường thẳng d , xác định 2 m để 1 xx12 2 y 1 y 2 16. Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (OR ; ). Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC tại D và cắt đường tròn (;)OR tại điểm thứ hai là M. 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. 2) Chứng minh BC là tia phân giác của EBM . 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE. 4) Khi hai điểm B, C cố định và điểm A di động trên đường tròn (;)OR nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh OA EF. Xác định vị trí của điểm A để tổng DE EF FD đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (0,5 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng 1 1 11 ab 23 bc 23 ca 232 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi thứ nhất: Cán bộ coi thi thứ hai:
2. ⇔3 =−+⇔ 4mm = 7. 0,25 2) Tìm điều kiện của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d ) tại hai điểm phân biệt. Gọi Ax( 11; y) , Bx( 22; y) là hai giao điểm của parabol (P) và 2 đường thẳng (d ) , xác định m để (1−xx12) + 2( y 1 += y 2) 16. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d ) là: 0,25 2x22= 2 xm +⇔ 2 x − 2 xm −= 01( ) Parabol (P) cắt đường thẳng (d ) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆′ >0 . 0,25 1 ∆=′ 12 + m , ∆>⇔+′ 0 12mm >⇔ 0 >− ( *) . 2. 2 (1,0đ) xx+=1  12 Khi đó theo định lý Vi-et ta có  m . xx12. = −  2 2 2 (1−xx) + 2( y += y ) 16 ⇔−(1xx) + 2( 2 x ++ m 2 x + m) = 16 12 1 2 12 1 2 0,25 2 2 m ⇔−(1xx12) + 4( x 1 + x 2) + 4 m = 16 ⇔1 + ++ 4 4m = 16 2 m2 m2 ⇔+1mm + ++ 4 4 = 16 ⇔ +5m += 5 16 ⇔ mm2 + 20 − 44 = 0 . 4 4 m = 2 ⇔  . Đối chiếu điều kiện (*) , ta có m = 2 . 0,25 m = −22 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (OR ; ). Hai đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt BC tại D và cắt đường tròn (;)OR tại điểm thứ hai là M. 1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Câu 4 (4,0đ) 1. (1,0đ) (Học sinh không vẽ hình ý nào sẽ không được chấm điểm ý đó) Ta có AEH = 90o (vì BE là đường cao). 0,25 Ta có AFH = 90o (vì CF là đường cao). 0,25 Trang 2/4
3. BC BC ⇒++=DE EF FD AD ≤ AK RR BC BC BC 2 Mà AK≤+ AO OK ⇒ AK ≤ R +− R2  RR4 0,25 BC BC 2 ⇒++≤DE EF FD R + R2 − không đổi.  R 4 Dấu “=” xảy ra khi ba điểm AOK,, thẳng hàng hay A là điểm chính giữa của cung lớn BC . Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng 1 1 11 ++≤. ab++23 bc ++ 23 ca ++ 232 xyz,,> 0 Đặt x= a,, y = bz = c⇒  . BĐT cần cm có dạng xyz =1 1 1 11 ++≤. xy++2 3 yz ++ 2 3 zx ++ 2 32 Ta có: x+2 y +=++++≥ 3( x y) ( y 1) 22xy + 2 y + 2(Áp dụng BĐT Cô si) 0,25 11 111 ⇔≤ ⇔≤. xy++232xy++ 22 y xy++2 32 xy++ y 1 111 Tương tự ta có ≤ . yz++2 32 yz++ z 1 111 ≤ . . Câu 5 zx++2 32 ++ zx x 1 (0,5đ) Ta có 11111 1 1 ++≤ ++  xy++23 yz ++ 23 zx ++ 232 xy++ y111 yz ++ z zx ++ x 111 Mặt khác: ++ xy++ y111 yz ++ z zx ++ x 1 11 =++ xy++ y 1 11 1 + +11 ++x 0,25 x xy y 1 xy y =++=1 xy+ y +11 y ++ xy 1 + xy + y 1 1 11 Do đó ++≤. xy++2 3 yz ++ 2 3 zx ++ 2 32 1 1 11 Hay ++≤. ab++23 bc ++ 23 ca ++ 232 Dấu “=” xảy ra ⇔===abc1 . Hết Trang 4/4