Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Trong mỗi câu sau, mỗi câu chỉ có một lựa chọn đúng. Em hãy ghi vào bài làm chữ cái in hoa đứng trước lựa chon đúng (Ví dụ: Câu 1 nếu chọn A là đúng thì viết 1.A). Câu 1. Biểu thức x 2021 có nghĩa khi và chỉ khi A. x 2021. B x 2021. C. x 2021. D. x 2021. 2 Câu 2. Đồ thị hàm số y ax ( a là tham số) đi qua điểm M 1;4 . Giá trị của a bằng A. 4. B. 1. C. 4. D. 1. 2 Câu 3. Tổng hai nghiệm của phương trình 2x 7 x 3 0 là 7 -7 3 -3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 Câu 4. Cho ABC vuông tại A có cos ABC= , BCcm 9 . Độ dài cạnh AB bằng 3 A. 27 cm. B. 6 2 cm. C. 6cm. D. 3cm. II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu 5 (1,25 điểm). Giải phương trình x2 x 2 0 . 3x y 4 Câu 6 (1,25 điểm). Giải hệ phương trình . 2x 3 y 1 Câu 7 (1,0 điểm). Cho parabol (P ): y x2 và đường thẳng dy: 2 xm (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có 2 2 Axy 1,,, 1 Bxy 2 2 sao cho yyxx1 2 1 2 6 xx 1 2 . Câu 8 (1,0 điểm). Một đội công nhân A và B làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi làm chung được 8 ngày thì đội A được điều động đi làm việc khác, đội B tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội B tăng gấp đôi, do đó đội B đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Câu 9 (3,0 điểm). Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến O ( B, C là các tiếp điểm). Kẻ tia Ax (nằm giữa hai tia AB, AO ) cắt đường tròn tại E và F E nằm giữa A và F ) . ( a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng BA2 AE.AF và OEF OHF , với H là giao điểm của AO và BC . c) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt đường thẳng BF tại M. Chứng minh rằng MC 2 HF . Câu 10 (0,5 điểm). Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng a 1 b3 b 1 c 3 c 1 a 3 0 b3 c 3 a 3 ___ HẾT ___ 1
2. phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội B tăng gấp đôi, do đó đội B đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Lời giải Gọi thời gian đội A và đội B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (ngày). ĐK x, y 12 1 Mỗi ngày, đội A làm được công việc x 1 Mỗi ngày, đội B làm được công việc x 1 Mỗi ngày, hai đội làm được công việc 12 1 1 1 Ta có phương trình: 1 x y 12 2 Trong 8 ngày làm chung, hai đội làm được công việc 3 16 Trong 8 ngày tiếp theo, do tăng năng suất gấp đôi nên đội B làm được công việc y 2 16 Ta có phương trình: 1 2 3 y Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xy12 xy 12 x 16 x y 12 TMDK 2 16 16 1 y 48 1 y 48 3y y 3 Vậy thời gian đội A và đội B làm một mình xong công việc lần lượt là 16; 48 (ngày). Câu 9 (3,0 điểm). Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến O ( B, C là các tiếp điểm). Kẻ tia Ax (nằm giữa hai tia AB, AO ) cắt đường tròn tại E và F E nằm giữa A và F ) . ( a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng BA2 AE.AF và OEF OHF , với H là giao điểm của AO và BC . c) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt đường thẳng BF tại M. Chứng minh rằng MC 2 HF . Lời giải 3
3. OHF OEF cmt OFE OEF ( OEF cân) AHE EFO cmt Suy ra AHE FHO Mà AHE EHB FHO FHB 900 EP EH EHB FHB HB là tia phân giác EHF 4 FP FH EHF có HB là phân giác trong EHF , HP HA nên HA là đường phân giác góc ngoài của EHF EA EP 5 FA FP EK EK Từ (3), (4) và (5) suy ra: BF FM FM BF HF là đường trung bình BCM CM 2 HF Câu 10 (0,5 điểm). Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng a 1 b3 b 1 c 3 c 1 a 3 0 b3 c 3 a 3 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c 3 3 3 a b c b c a a b c a2 c b 2 a c 2 b 0 abc 1 3 3 3 2 2 2 b c a b c a Do đó ta cần CM a b c a2 c b 2 a c 2 b 3 3 3 2 2 2 a b c * b c a b c a Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: a2 c b 2 a a 2 c b 2 a c33 . . c 3 a bc2 2 bc 2 2 b2 a c 2 b b 2 a c 2 b a33 . . a 3 b c2 a 2 c 2 a 2 a2 c c 2 b a 2 c c 2 b b33 . . bc 3 b2 a 2 b 2 a 2 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên và thu gọn ta được: 5