Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Hà Nội (Có đáp án)

1. Giải chi tiết đề thi Toán Chuyên Sở GD Hà Nội 2022 CLB Toán Lim 2 Câu II 2n 1 1) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lẻ thì: 3 + 1 chia hết cho 20. − 2) Tìm các cặp số nguyên dương sao cho: y(x2 x 1) (x 1)(y2 1). + + = + − Lời giải 1) vì n là số tự nhiên lẻ, đặt n 2k 1(k N) = + ∈ 2n 1 4k 3 k S 3 + 7 3 + 7 81 .27 7 ⇒ = − = − = − Nhận thấy, 81 1( mod 20) S 1k.27 7 27 7 0( mod 20) ≡ ⇒ ≡ − = − ≡ Hay S chia hết cho 20 (điều phải chứng minh). 2) Phương trình tương đương với: yx2 yx y xy2 y2 x 1 xy(x y) y(x y) (x y 1) + + = + − − ⇔ − + − = − + + y(x 1)(x 1 y 1) (x 1 y). ⇔ + + − − = − + + Đặt a x 1,a 2. phương trình tương đương với = + ≥ ay(y 1 a) a y. + − = + Vì ay 0 và a y 0 nên y 1 a 0. Suy ra y 1 a 1. Ta lại có > + > + a− y> + − ≥ (a 1)(y 1) 1 hay ay a y 1 + (do a y 3). Do đó, nếu y 1 a 2 − − ≥ ≥ + − > 2 + ≥ + − ≥ thì ay(y 1 a) a y, vô lý. + − > + Do đó, y 1 a 1 hay y a. Khi đó, từ phương trình trên, ta cũng tìm + − = = ra được là a2 2a hay a 2. Như vậy, (x, y) (1,2). = = = Cách 2: Ta biến đổi phương trình được: x2 y (x 1)(y2 y 1)(1) = + − − Do x, y 0y2 y 1 0 > − − > 2 2 2 Gọi d (x , x 1) N∗ d x 1, x d x 1 d 1 d 1 = + ∈ ⇒ | + ⇒ | − ⇒ | ⇒ = 2 Gọi e (y, y y 1) N∗ 1 e e 1 = .− − ∈ ⇒ | ⇒ = . Từ (1) x2 y.x 1 , mà (x 1, x2) 1 y.x 1(2) ⇒ + + . = ⇒ + . Lại từ (1) (y2 y 1)(x 1).y , mà (y, y2 y 1) 1 x 1.y(3) ⇒ − − + − − = ⇒ + Do x, y 0, kết hợp (2),(3) x 1 y > ⇒ + = 2 20/06/2022
2. Giải chi tiết đề thi Toán Chuyên Sở GD Hà Nội 2022 CLB Toán Lim 4 Câu IV Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA, AB tại lần lượt các điểm D,E,F. 1) Gọi AI DF M. Chứng minh rằng: CM AI. ∩ = ⊥ 2) Gọi AI DE N. Chứng minh rằng: DM DN. ∩ = = 3) Các tiếp tuyến tại M, N của (K;KM) cắt nhau tại S. Chứng minh rằng AS ID. ∥ Lời giải(Nguyễn Duy Khương). 1) Ta có: MDCƒ FDBƒ 90◦ B/2 ƒMIC. Do đó: IDMC là tứ giác nội tiếp = = − = suy ra: ƒIMC IDC 90◦ hay CM AI. = = ⊥ 2) Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Gọi T là trung điểm AC. Ta có: MTAƒ 180◦ 2I AC 180◦ Ab KTAƒ suy ra: M,K,T thẳng hàng. Suy ra: = − = − = KM AB. Vậy àKMD DFBƒ FDBƒ àKDM dẫn đến: KD KM. Chứng ∥ = = = = minh tương tự thì: KN KD. Do đó: KM KN KD. = = = Cb 3) Ta có: DMNà (do IDMC nội tiếp), để ý rằng: AHMC nội tiếp dẫn = 2 đến: àHMA HCAƒ do đó: MD là phân giác góc HMN. Tương tự thì: = 4 20/06/2022
3. Giải chi tiết đề thi Toán Chuyên Sở GD Hà Nội 2022 CLB Toán Lim nguyên lí dirichlet, tồn tại 2 số cùng thuộc một bộ. Điều này đúng vì ¹ t º ¹ t º 161 t (t 91) 1 69 − ≥ 2 − − + ⇔ ≥ 2 6 20/06/2022