Đề thi tuyển sinh Lớp 10 vào trường THPT chuyên năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT tỉnh Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 vào trường THPT chuyên năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT tỉnh Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG TỈNH QUẢNG NAM THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN (Toán chuyên Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Khóa thi ngày: 14-16/6/2022 Câu 1. (1,5 điểm) a a a a Cho biểu thức A 1 1 với a 0, a 1. a 1 a 1 Rút gọn A và tìm a sao cho A2 A 0 . Câu 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n4 3n2 1 là số nguyên tố. Câu 3. (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y 2x m ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho một trong hai giao điểm đó có hoành độ bằng 1. Câu 4. (2,0 điểm) a) Cho phương trình x2 6x m 0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để 2 2 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn 2x1 x1x2 2x2 38 . 1 2x 4y 5 x 2y b) Giải hệ phương trình . x 2y 3 x 2y Câu 5. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài đường tròn đó. Từ điểm I kẻ hai tiếp tuyến IA, IB với đường tròn (O) ( A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn. b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K. Chứng minh KB2 AK.KE . IE DE c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh . IC DC Câu 6. (1,0 điểm) x2 y2 x y Chứng minh rằng 4 3 với mọi số thực x; y khác 0. y2 x2 y x HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. ( 2,0 ) tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả 2 2 mãn 2x1 x1x2 2x2 38 . ' 9 m , 0,25 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 9 m 0 m 9 . 0,25 2 34 2x2 x x 2x2 38 2 x x 5x x 38 2.62 5m 38 m . 0,25 1 1 2 2 1 2 1 2 5 34 Vậy m 9 m 7; 8 do mlà số nguyên. 0,25 5 1 2x 4y 5 x 2y b) Giải hệ phương trình . 1,0 x 2y 3 x 2y 1 u 2v 5 Điều kiện x 2y . Đặt u ; v x 2y. Ta có hệ phương trình x 2y uv 3 0,25 3 Giải tìm được u 3; v 1 hoặc u 2; v . 0,25 2 2 1 x 0,25 x 2y 3 - Với u 3; v 1 , ta có 3 1 x 2y 1 y 6 1 x 2y x 1 3 2 - Với u 2; v , ta có 1 . 2 3 y x 2y 4 2 2 0,25 x x 1 3 Đối chiếu điều kiện, hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ; 1 1 y y 4 6 • Nếu thiếu điều kiện x 2y thì trừ 0,25 đ Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài đường tròn đó. Từ điểm I kẻ hai tiếp tuyến IA, IB với đường tròn (O) ( A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn. b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O) tại Câu 5 điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O) 3.5 tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K. Chứng minh KB2 AK.KE . IE DE c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh . IC DC
3. Qua E kẻ đường thẳng song song với IB, cắt AB tại H và cắt IA tại J, theo JE EH định lí Ta-lét ta có (2). 0,25 IK KB JE EH Từ (1) và (2) suy ra JE EH . 0,25 AC AC IE JE DE EH IE DE Theo định lí Ta-let và . Vậy . 0,25 IC AC DC AC IC DC x2 y2 x y Chứng minh rằng 4 3 với mọi số thực x; y khác 0. 1,0 y2 x2 y x Cách 1: 2 2 x2 y2 x y x4 y4 4x2 y2 3 x y 4 3 2 2 2 2 y x y x x y xy 0,25 x4 y4 4x2 y2 3xy x2 y2 (do x2 y2 0) 2 x2 y2 x2 y2 xy 2x2 y2 2xy x2 y2 0 0,25 x2 y2 x2 y2 xy 2xy x2 y2 xy 0 0,25 x2 y2 xy x2 y2 2xy 0 2 2 y 3y 2 Câu 6 x x y 0 (*) 0,25 2 4 Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Cách 2: 2 x y x y x2 y2 Đặt t . Ta có t 2 2 y x y x y2 x2 2 2 x y 2 t 2 0,25 Theo Cô-si 2 2 2 t 4 y x t 2 Bất đẳng thức đã cho trở thành t 2 3t 2 0 t 1 t 2 0 (*) 0,25 Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25 Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25