Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN GIA LAI NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Chuyên) ( Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên thí sinh: .; SBD . Câu 1: (2,0 điểm) a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol (Py) :3= x2 và đường thẳng (dy) := 28 x + . 11 1 1 b) Cho A = + + ++ 1+++ 3 3 5 5 7 2021 + 2023 2023− 2 2022 và B = . 2+−+ 5 6 20 . 4 Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng tỏ AB> . Câu 2: (2,0 điểm) 24+ 3 a) Tìm một đa thức bậc ba Px( ) với hệ số nguyên nhận x = là một nghiệm và 3 P(16) = − . b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên xy, thỏa mãn: xy22−2 xy 2 + 3 x 2 + 4 xy − 4 x + 2 y2 − 4 y −= 1 0. Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình xx+4 −+ 31+= xx − 4 −+ 31 x −11. 8xy−− x 14 y += 4 0 b) Giải hệ phương trình  22 2 . 8xyy+7 xy − 20 += 2 0 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , kẻ ba đường cao AD,, BE CF cắt nhau tại H , lấy điểm M trên cung nhỏ BC ( M≠ BC, ). Gọi P là điểm đối xứng với M qua AB. a) Chứng minh: APB= ACB và tứ giác AHBP nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác FDE . AD BE CF c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =++. HD HE HF Câu 5: (1,0 điểm) 111 Cho các số thực dương xyz,, thoả mãn ++=3. Chứng minh rằng xyz x2++− y 22 z2 xyz ≥ 1. HẾT Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2
2. Câu 2: (2,0 điểm) 24+ 3 a) Tìm một đa thức bậc ba Px( ) với hệ số nguyên nhận x = là một nghiệm và 3 P(16) = − . b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên xy, thỏa mãn: xy22−2 xy 2 + 3 x 2 + 4 xy − 4 x + 2 y2 − 4 y −= 1 0. Lời giải 3 24+ 3 a) Ta có x= ⇔3 x −= 23 4 ⇔( 3 x − 2) =⇔ 4 27 xxx32 − 18 + 12 − 12 = 0. 3 Suy ra đa thức bậc ba Px( ) thỏa đề có dạng Px( ) = k(27 x32 − 18 x +− 12 x 12) với k là hằng số. Vì P(16) = − nên −36kk =−⇔= 2. Vậy có đa thức cần tìm là Px( ) =54 x32 − 36 x +− 24 x 24. b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên xy, thỏa mãn: xy22−2 xy 2 + 3 x 2 + 4 xy − 4 x + 2 y2 − 4 y −= 1 0. Ta có xy22−2 xy 2 + 3 x 2 + 4 xy − 4 x + 2 y2 − 4 y −= 10 ⇔(xy22 −2 xy 2 + x 2) +( 2 x 2 + 4 xy + 2 y2) − 4 x − 4 y −= 10 22 ⇔( xyx −) +2( xy +) − 4( xy +) += 23 22 ⇔( xy − x) +2( x +− y 13) = 2 2 Vì xy, là các số nguyên nên ( xy− x) và ( xy+−1) là các số tự nhiên.  2  2 22( xy−= x) 1x( y − 11) = Do đó, ( xy− x) +2( x +− y 13) =⇔⇔ 2 2 2 ( xy+−11) = x+( y −1) + 2 xy( −= 11) xy( −=11) xy( −=−11) ⇔ hoặc .  2 2  2 2 xy+−( 11) =− xy+−( 13) = Cả hai trường hợp đều không thỏa mãn. Vậy không tồn tại các số nguyên xy, thỏa mãn đề bài. Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình xx+4 −+ 31+= xx − 4 −+ 31 x −11. 8xy−− x 14 y += 4 0 b) Giải hệ phương trình  22 2 . 8xyy+7 xy − 20 += 2 0 Lời giải a) Điều kiện: x ≥ 3. Với điều kiện đó, ta có xx+4 −+ 31+= xx − 4 −+ 31 x −11
3. Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , kẻ ba đường cao AD,, BE CF cắt nhau tại H , lấy điểm M trên cung nhỏ BC ( M≠ BC, ). Gọi P là điểm đối xứng với M qua AB. a) Chứng minh: APB= ACB và tứ giác AHBP nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác FDE . AD BE CF c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =++. HD HE HF Lời giải a) P đối xứng với M qua AB nên APB= APM +=+= MPB AMP PMB AMB (1) . Do AMB và ACB là các góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên AMB= ACB (2) . Từ (1) và (2) suy ra APB= ACB (3) . Tứ giác DHEC có HDC = HEC =90 ° (vì AD, BE là các đường cao của ∆ABC ) nên ECD +=° EHD 180 . Suy ra ACB+=° AHB 180 (4) . Từ (3) và (4) suy ra APB+=° AHB 180 . Do đó, tứ giác AHBP nội tiếp một đường tròn. b) Dễ thấy, HFAE , AEDB , DBFH là các tứ giác nội tiếp nên HFE = HAE = HBD = HFD . Suy ra HF là đường phân giác của tam giác FDE . Tương tự, HD cũng là đường phân giác của tam giác FDE . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác FDE . 1 AD. BC AD S x++ y z c) Đặt S= xS,, = yS = z. Ta có: =2 =ABC = . HBC HCA HAB HD 1 S x HD. BC HBC 2 BExyz++ CFxyz ++ Tương tự, ta cũng có: = ; = . HE y HF z xyz++ xyz ++ xyz ++  x y  y z  z x  Suy ra T = + + =++++++3 . x y z yx zy xz