Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Dành cho thí sinh chuyên Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Kạn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Dành cho thí sinh chuyên Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Kạn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BẮC KẠN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Đề gồm có 01 trang) (Dành cho thí sinh thi chuyên toán) Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian giao đề. 11x + 2 Câu 1 (1,0 điểm). Cho biểu thức A =+⋅ với xx>≠0, 4 . xx+−22 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình x22+12 += 5 3 xx + + 5.  x2 +1  2x =  y2 b) Giải hệ phương trình   y2 +1 2.y =  x2 Câu 3 (2,0 điểm). 22+−+ = Cho phương trình x6 xm 6 m 0 (1) ( m là tham số). a) Tìm các giá trị m nguyên để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện xx12> 5. b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều 2 kiện x1−=8 xx 12. Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn x22− xy +3 x − 2 y − 3 y −= 30. Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A( AB thỏa mãn xy+<1. Chứng minh + + ++≥xy . 11−−x yxy + 2 Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ., Số báo danh: . Chữ ký của cán bộ coi thi số 1: , Chữ ký của cán bộ coi thi số 2: .
2. 2 a) Giải phương trình x22+12 += 5 3 xx + + 5 PT ⇔x22 +12 − xx += 5 3 − 5 5 0,25 Ta có: xx22+12 − +>⇒ 5 0 3 x −>⇔ 5 0 x > 3 PT⇔ x22 +12 −+− 4 3x + 5 = 3 x − 6 xx22−−44 ⇔ + −3( x −= 20) xx22++12 4 3 + + 5 0,25 xx++22 ⇔−( x 2)− −=30 xx22++12 4 3 + + 5 11 Ta có: 4++>++⇔ x22 12 3x 5 4++xx22 12 3 ++ 5 3 0,25 xx++22 ⇔ −  y2 0,25  ⇒>x0, y >⇒ 0 2 xy ++> x y 0  y2 +1 20y = >  x2 TH2: xy= , thế vào một phương trình trong hệ, ta có: 32 2 2xx− −= 10 ⇔( x − 12)( xx + + 1) = 0 ⇔ x = 1 0,25 Vậy hệ có duy nhất một nghiệm là: (1; 1)
3. 4  16 x = − xy−215 +=− x =− 4 xy−211 +=−  3 TH3: ⇔ TH4: ⇔ (loại) xy++=−21y = 1 xy++=−25 5   y = −  3 Vậy có 2 cặp số nguyên ( xy; ) cần tìm là: (2; 1) ,(−4; 1) . Cho tam giác ABC vuông ở A( AB< AC) . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi S là giao điểm của AI và DE. Chứng minh rằng: a) IECD là tứ giác nội tiếp. 0,5 5 (3,0đ) Ta có IEC = IDC =⇒+=90oo IEC IDC 180 ⇒tứ giác IECD nội tiếp. 0,5 b) Gọi K, O lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh K, O, S thẳng hàng. 180o − ECD ECD Ta có: AES=−=−180oo DEC 180 =+90 o 22 CAB + ABC ECD Mặt khác: AIB=180oo −−= IAB IBA 180 − =+90 o 22 Suy ra AES= AIB. Xét tam giác IAB và tam giác EAS có IAB = SAE = 45o và AES= AIB. 1,0 IA EA ⇒∆IAB∽ ∆ EAS ⇒ = AB AS Mà IAB = SAE ⇒∆ IAE∽ ∆ BAS . Vì tam giác IAE vuông cân tại E nên tam giác ABS vuông cân tại S, suy ra S nằm trên đường trung trực của AB suy ra K, O, S thẳng hàng. c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác