Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Kạn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Kạn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BẮC KẠN NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (1,5 điểm). 36 a) Tính giá trị các biểu thức sau: A =5 − 4; B = . 3 1 12 b) Rút gọn biểu thức C = + : với x ≥0 và x ≠ 4 . xx−+22x − 4 Câu 2 (3,0 điểm). a) Giải phương trình x −=5 0. b) Giải phương trình xx2 +7 += 6 0. xy−=27 c) Giải hệ phương trình  ⋅ 325xy+= d) Bạn Nam đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp. Lúc về, Nam đi với vận tốc nhanh hơn lúc đi 3 km/h. Vì vậy, thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi 15 phút. Tính vận tốc lúc đi của bạn Nam, biết rằng quãng đường từ nhà Nam đến trường là 15 km. Câu 3 (2,0 điểm). a) Vẽ parabol (Py) :2= x2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm a, b để đường thẳng d: y= ax + b đi qua điểm A(1;− 5) và song song với đường thẳng dy1 :=−+ x 3. c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng dy2 :2=−+ xm cắt parabol 2 (Py):2= x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ xx12, thỏa mãn: x1+− x 22 xx 12 = 1. Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và đường cao AH (H∈ BC). Kẻ HI, HK lần lượt vuông góc với AB, AC (I∈∈ AB,. K AC) Chứng minh: a) Tứ giác AIHK nội tiếp. b) AK.AC = AI.AB. c) OA vuông góc với IK. d) AB.AC = 2R.AH. Câu 5 (0,5 điểm). Chứng minh a b−+11 b a −≤ ab với ab,≥ 1. HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu; Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Chữ ký CBCT 1: ; Chữ ký CBCT 2:
2. 2 4x = 12 HPT ⇔  0,25 xy−=27 x = 3 ⇔⋅ Vậy HPT có nghiệm duy nhất là (3;− 2) . 0,5 y = −2 d) Bạn Nam đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp. Lúc về, Nam đi với vận tốc nhanh hơn lúc đi 3 km/h. Vì vậy, thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi 15 phút. Tính vận tốc lúc đi của bạn Nam, biết rằng quãng đường từ nhà Nam đến trường là 15 km. Gọi vận tốc lúc đi của bạn Nam là x km/h, x > 0, vận tốc lúc về là x + 3 km/h. 0,25 15 15 Thời gian lúc đi của bạn Nam là h, thời gian lúc về là h. x x + 3 1 Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 15 phút= h nên ta có 4 0,25 15 15 1 phương trình −= xx+ 34 2 x =12 ⇒+−xx3 180 =⇔ 0  x = −15 (KTM) 0,25 Vậy vận tốc lúc đi của Nam là 12 km/h. a) Vẽ parabol (Py):2= x2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Bảng giá trị x −2 −1 0 1 2 0,5 yx= 2 2 8 2 0 2 8 Đồ thị hàm số 3 (2,5đ) 0,5 b) Tìm a, b để đường thẳng d: y= ax + b đi qua điểm A(1;− 5) và song song với đường thẳng dy1 :=−+ x 3. Ta có dd//1 ⇒=− a 1 0,25
3. 4 b) AK.AC = AI.AB. Xét tam giác vuông ABH có HI là đường cao suy ra 2 0,25 AI.1 AB= AH ( ) Xét tam giác vuông ACH có HK là đường cao suy ra 2 0,25 AK.2 AC= AH ( ) Từ (1) và (2) ta có AK.AC = AI.AB. 0,25 c) OA vuông góc với IK. Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O. 1 0,25 Xét đường tròn tâm O, ta có xAB = BCA = sñ AB (3) 2 Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIHK, ta có 1 AIK= AHK = sñ AK (4) 2 0,25 Mà ACB= AHK (5) vì cùng phụ KHC . Từ (3), (4), (5) suy ra xAB = AIK (so le trong). Suy ra Ax// IK 0,25 mà OA⊥ Ax . Vậy OA vuông góc với IK. d) AB.AC = 2R.AH. Kẻ đường kính AD của (OR; ) ta có 11 ABH= ADC = sñ AC; ACD= sñ AD = 90o 22 0,25  ABH= ADC ⇒∆AHB∽ ∆ ACD vì  o  AHB= ACD = 90 AH AC ⇒=⇔AH AD = AB AC hay AB.AC = 2R.AH. 0,25 AB AD Chứng minh a b−+11 b a −≤ ab với ab,≥ 1. Với điều kiện ab,≥ 1. Theo BĐT Cauchy ta có: 11+−b b ab 5 1.(b− 1) ≤ = ⇒ab −≤1 0,25 (0,5đ) 22 2 11+−a a ab 1.(a− 1) ≤ = ⇒ba −≤1 22 2 Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ta có a b−+11 b a −≤ ab 0,25 dấu “=” xảy ra khi a = b = 2. HẾT