Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Bắc Giang môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Bắc Giang môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG BẮC GIANG NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 06/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (5,0 điểm). x 3 6 36 xx 2 1 1) Cho biểu thức với A : x 0; x 1, x 9. xx 3 39 x xx 4 3 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 4. 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 2 mxm 1 2 2 2 mxmm 1 2 0 2 2 2 có ba nghiệm phân biệt xx1,, 2 x 3 thỏa mãn x1 x 2 x 33 xxx 1 2 3 0. Câu II (4,0 điểm). 1) Cho đa thức Pxx 52 x 4 2 x 3 8 x 1 và số a 3 5 2 7. Tính P a . 2 2) Giải phương trình xx2 3 1 23 xx 3 5 53 xx 3 5. Câu III (4,0 điểm). 1) Tìm ba số nguyên xyz,, thỏa mãn x4 9 y 2 25 zx 2 2 6 xy 2022. 2) Cho chín số nguyên dương a1,,, a 2 a 9 đều không có ước số nguyên tố nào khác 3; 5 và 7. Chứng minh rằng trong chín số đã cho luôn tồn tại hai số mà tích của hai số này là một số chính phương. Câu IV (6,0 điểm). Cho nửa đường tròn OR; đường kính AB . Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho, H là hình chiếu của M trên AB . Đường thẳng qua O và song song với MA cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn O tại điểm K. 1) Chứng minh bốn điểm OBKM,,, cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi CD, lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MA và MB . Chứng minh ba đường thẳng CD,, MH AK đồng quy. 3) Gọi EF, lần lượt là trung điểm của AH và BH . Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm). Cho ba số dương abc,, thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng abc a2 b 2 c 2 3. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và chữ ký): Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và chữ ký): SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
2. x1 x 2 m 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có . Thay vào được: xx1. 2 m 1 0,5 m 12 2 m 1 mmm2 3 1 0 3 21 m2 3 m 3 0 . Tìm được m . 0,5 2 Câu II (4,0 đ) 2 a 35 2 7 2 1 a 1 2 a 2 2 a 1 0 0,5 Chia đa thức P x cho đa thức x2 2 x 1 0 ta được: Phần 1 2 3 0,5 (2,0 điểm) Pxxx 2 1 xx 2 3 x 3 Suy ra P a a2 2 a 1 a 3 a 2 3 a 3 3 a 3 0,5 Từ đó tính được P a 3 2. 0,5 Đưa phương trình về dạng: 2 0,5 x 13 2 x 1 2 5 xxx 1 3 5 2 3 xx 3 5 5 3 xx 3 5 Đặt ax 1, b 3 xx 3 5 ta được phương trình: a3 2 a 2 5 a b 3 2 b 2 5 b a b 0,5 2 2 a b a ab b2 a 2 b 5 0 2 2 Phần 2 a ab b2 a 2 b 5 0 (2,0 điểm) + Với a b ta có 3 1 13 0,5 x 13 xx 3 5 x 1 xx 3 5 3 xx 2 2 4 0 x 3 + Với a2 ab b 2 2 a 2 b 5 0 a b 2 a 2 2 b 2 2 2 0 : vô nghiệm 0,5 1 13 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x . 3 Câu III (4,0đ) 2 Biến đổi giả thiết về dạng x2 1 xy 3 2 5 z 2 2023 0,5 2 Với xyz,, là các số nguyên ta có x2 1 , xy 3 2 , 5 z 2 là các số chính phương (bình phương của số nguyên) 0,5 Mỗi số nguyên khi chia cho 8 được số dư là một trong các số 0; 1; 2; 3;4 Phần 1 mỗi số chính phương khi chia cho 8 sẽ được số dư là một trong các số (2,0 điểm) 0;1;4 2 Từ đó, x2 1 xy 3 2 5 z 2 là tổng của 3 số chính phương nên nó chia cho 8 sẽ 0,5 được số dư là một trong các số 0;1;2;3;4;5;6 Mặt khác, 2023 chia cho 8 có số dư là 7 0,5 Do vậy, không thể tìm được ba số nguyên xyz,, thỏa mãn yêu cầu của đề bài, Giả sử a 3m1  5 n 1  7 p 1 , a 3m2  5 n 2  7 p 2 , , a 3m9  5 n 9  7 p 9 Phần 2 1 2 9 0,5 (2,0 điểm) trong đó mnpi, i , i i 1;2; ;9 là các số tự nhiên.
3. MBK IQP , mà MBK IMP (so le trong) 0,5 IQP IMP tứ giác MIPQ nội tiếp Từ đó MPI MQI , mà MQI MBA (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,5 MPI MBA IP song song với AB Mặt khác, P là trung điểm của MB I là trung điểm của MH, mà MCHD là hình chữ nhật I là trung điểm của CD 0,5 Vậy CD,, MH AK đồng quy tại I. Chỉ ra SCDFE 2 S IEF IHEF  0,5 1 1 1 MH  AB MH. R 0,5 Phần 3 2 2 2 (2,0 điểm) Từ đó, SCDFE đạt giá trị lớn nhất MH đạt giá trị lớn nhất 0,5 M là điểm chính giữa của cung AB. 0,5 Câu V (1,0 đ) 3abc a2 b 2 c 2 a b c abc a 2 b 2 c 2    ca ab ab bc bc ca a2 b 2 c 2 2 ab bc ca 0,5  a2 b 2 c 2 3 x y z 2 (Dựa vào BĐT phụ: xy yz zx , dấu “=” xảy ra x y z ) 3 2 ab bc ca 1 (1,0 điểm)  a2 b 2 c 2 ab bc ca ab bc ca a 2 b 2 c 2 3 3 3 3 2 2 2 2 1 ab bc ca ab bc ca a b c 1 a b c   9 3 3 3 3 0,5 3 x y z (Dựa vào BĐT Cô-si: xyz, , 0 xyz , dấu “=” xảy ra x y z ) 3 Từ đó suy ra abc a2 b 2 c 2 3. Dấu " " xảy ra a b c 1. Tổng 20 đ