Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên KHTN môn Toán năm 2020 - Đại học Quốc gia Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên KHTN môn Toán năm 2020 - Đại học Quốc gia Hà Nội (Có đáp án)

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 MÔN THI: TOÁN (đề thi dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1. 22 x y xy 7 a) Giải hệ phương trình: . 32 9x xy 70 x y b) Giải phương trình: 11 5 x 8 2 x 1 24 3 5 xx 2 1 . Câu 2. a) Tìm xy, nguyên dương thỏa mãn: x22 y 16 xy 99 9 x2 36 y 2 13 x 26 y . b) Với ab, là những số thực dương thỏa mãn: 22 ab 3 5 và 8a 12 b 2 a22 3 b 5 ab 10. Chứng minh rằng: 3a22 8 b 10 ab 21. Câu 3. Cho tam giác ABC có BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn O . Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của BAC . Lấy các điểm MN, thuoocj O sao cho các đường thẳng CM và BN cùng song song với đường thẳng AD. a) Chứng minh rằng AM AN. b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng AC, AB lần lượt là EF,. Chứng minh rằng bốn điểm BCEF,,, cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi PQ, theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM,. AN Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, FP và AD dồng quy. Câu 4. Với abc,, là những số thực dương thỏa mãn abc 3. Chứng minh rằng: 222 a a bc b b ca c c ab 4. b ab 22 c222 c bc a a ca 2 b HẾT
2. Câu 2. a) Phương trình tương đương: x22 y 20 xy 100 9 x2 4 xy y2 13 x 2 y 1 22 xy10 9 xy 2 13 xy 2 1. Đặt x 2, ya ta có: 9aa2 13 1 là số chính phương với a 0. 22 2 Mà 31a 9 aa2 13133, a do đó 9aa2 13 1 3 a 2 a 3. xy 23 Với a 3, ta có xy1. xy 1 Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất xy; 1;1 . b) Ta có: 8a 12 b 2 a22 3 b 5 ab 10 4 2 ab 3 2 abab 3 10 1 . y 5 Đặt x 2 a 3, by a b với 2 x 5. Ta có: 1 trở thành: 4x xy 10 2. 2 x Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: xy22 21 x 2 4 y 2 25. Ta có: 2 yy2 25 4 5 4 4 2 y 25 4 22 25 1 2 25 12 8 25 1 2 . 42xxxx x 4 2 Ta cần chứng minh: 8 25 1 x 4. Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: x2 x42 29 x 100 0 xxxx 2 2 5 5 0. Bất đẳng thức cuối đúng do 2 x 5. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy 5, 2 hay ab 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 3.
3. FM FK FM EN Do đó , hay . EN EK FK EK SA S A Từ đó ta có: . SK S K Suy ra SS hay EQ, FP và AD đồng quy. Câu 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có: 2 2 22222 2 a a bc a abc a b c3 abc a222 b c3 abc 22 2 b ab 22 c ab ab c  ab ab 2 c ab bc ca a222 b c3 abc Ta cần chứng minh: 2. ab bc ca Thật áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với abc 3, ta có: 9abc a222 b c3 abc a222 b c 2. ab bc ca abc Suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi abc 1. HẾT