Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Dành cho tất cả thí sinh - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Dành cho tất cả thí sinh - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT THANH HÓA KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/4/2023 Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu 1 1 x 1 Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức A : , với 0 x 1. x x x 1 x x 2 x x 1. Rút gọn biểu thức A . 2. Tính giá trị của biểu thức BA 2023 2 khi x 2024 2 2023 . Câu II. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng ():d y ax b đi qua điểm M 1;2 và song song với đường thẳng (d ') : y 2 x 3. Tìm các hệ số a và b . 6 5 3 x y 2. Giải hệ phương trình . 9 10 1 x y Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 3 x m 2 0 , với m là tham số. 1. Giải phương trình khi m 2 . 2. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x 2 thoả mãn điều kiện 2 2 2 x1 x 1 x 2 3 x 2 m 2 m 1 6 m . Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó là AD, BE cắt nhau tại H với D BC, E AC . 1. Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp một đường tròn, tìm vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Chứng minh HA HD HB HE . 3. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE ). Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số dương a,, b c thỏa mãn a2 b 2 c 2 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a2 b 5 c thức P . bc ca ab Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
2. Câu III. (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 3 x m 2 0 , với m là tham số. 1. Giải phương trình khi m 2 . 2. Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x 2 thoả mãn điều kiện 2 2 2 x1 x 1 x 2 3 x 2 m 2 m 1 6 m . Giải. 1. (1,0 điểm) Khi m 2 ta có phương trình x2 3 x 2 0 . (0,5 điểm) Do a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 1, x 2 2 . (0,5 điểm) 2 2. (1,0 điểm) Phương trình có hai nghiệm x1, x 2 0 9 4m 0 9 3 3 m2 m (*) (0,25 điểm) 4 2 2 x x 3 Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2 . 2 x1 x 2 m 2 2 2 2 2 2 Vì x1 là nghiệm của phương trình x 3 x m 0 nên ta có x1 3 x 1 m 0 x 1 3 x 1 m 3 3 Khi đó với m thì 2 2 2 2 2 2 2 2 xxxxmm1 1 2 3 2 2 1 6 m 3 xmxxxmm 1 1 2 3 2 2 1 6 m 2 2 2 2 2 3 xxxxmm1 2 1 2 2 2 1 6 m 9 mmm 2 2 1 6 m m2 2 m 8 6 m 2 m 4 2 m 6 m 2 (0,25 điểm) m 4 2 m 6 m2 m 4 2 m 6 m 2 m2 2 m 8 6 m 2 m 1 (0,25 điểm) 3 Kết hợp với điều kiện (*) ta có m 1. (0,25 điểm) 2 Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác đó là AD, BE cắt nhau tại H với D BC, E AC . 1. Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp một đường tròn, tìm vị trí tâm I của đường tròn đó. 2. Chứng minh HA HD HB HE ; 3. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE (với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE ). Giải. A E O H I C B D 1. (1,0 điểm) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp AD BC 0 Ta có: AD, BE là hai đường cao của ABC ADC BEC 90 (0,5 điểm) BE AC Xét tứ giác CDHE ta có HDC HEC 900 90 0 180 0 CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC . (0,25 điểm) Như vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE là trung điểm của HC . (0,25 điểm) 2