Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Đề chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Đề chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam (Có đáp án)

1. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN (Đề chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Câu I. (2,0 điểm) xx−+−11  x x 2 Cho biểu thức A =   −  với x≥0, xx ≠≠ 1, 4. 12++xx  x −1 xx− − 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm tất cả các số nguyên của x để 2AA−+= 1 1 2. Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình (x− 1) xx22 ++= 6 16 2 xx −+ 6 4. 3 23 2xxyyx+ (2 −+ ) 2 x + 6 xxyy = ++3 y 2. Giải hệ phương trình .  22 2  3(x+ y ) ++ 7 5 x + 5 y + 14 =−− 4 yx Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2222024++ 2027 n là số chính phương. Câu IV. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và không đi qua tâm O . Gọi A là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB< AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại K , đường thẳng AH cắt cạnh BC tại D và AE là đường kính của đường tròn (O) . 1. Chứng minh BAD = CAE . 2. Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và HA HD= HK HM . 3. Tia KD cắt đường tròn (O) tại I ( I khác K ), đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BC cắt AM tại J . Chứng minh rằng các đường thẳng AK, BC và HJ cùng đi qua một điểm. 4. Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại PQ, phân biệt. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Chứng minh rằng đường thẳng AN luôn đi qua một điểm cố định. 111 Câu V. (1,0 điểm) Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ++=1. abc222 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 111 P = ++. 522a2++ ab b 22 522 b ++ bc c 22 522 c ++ ca a 2 HẾT Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1 Cán bộ coi thi số 2
2. 2 x ≥ 2  x ≥ 2 =xl0( ) ⇔⇔ 2  3xx−= 22 0  22 0,25 x= () tm  3 22 Phương trình đã cho có hai nghiệm xx=1; = 0,25 3 3 23 2xxyyx+ (2 −+ ) 2 x + 6 xxyy = ++3 y (1) 2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình .  22 2  3(x+ y ) ++ 7 5 x + 5 y + 14 =−− 4 yx (2) 3(xy2 + ) +≥ 7 0 Điều kiện:  2 5xy++≥ 5 14 0 Phương trình (1) tương đương với 22x3+ xyxy 22 − + 26 x 2 +=++ xxyy3 3 y 32 23 2 ⇔(2xxy − ) + (2 xyy −+ ) (2 xxy −+−= ) (6 xy 3 ) 0 ⇔x22(2 xy −+ ) y (2 xy −+ ) xxy (2 −+ ) 3(2 xy −= ) 0 ⇔(2x − yx )( 22 + y ++ x 3) = 0 0,25 1 11 ⇔(2xyx − )[( + )22 ++ y ] = 0 24 ⇔202xy −=⇔= y x 0,25 Thay yx= 2 vào phương trình (2) ta được 3x22+++ 6 x 7 5 x + 10 x +=−− 14 4 2 xx2 2 22 ⇔( 3xx + 6 +− 7 2) + ( 5 x + 10 x + 14 − 3) + ( xx + 2 + 1) = 0 3(xx++ 1) 225( 1) ⇔ + ++(x 1)2 = 0 22 3xx+ 6 ++ 7 2 5 x + 10 x + 14 + 3 2 35 ⇔(x + 1) ( + +=1) 0 0,25 22+ ++ + + + 3xx 6 7 2 5 x 10 x 14 3 35 Vì + +>10 nên phương trình tương đương với 3xx22+ 6 ++ 7 2 5 x + 10 x + 14 + 3 2 (x + 1) =⇔+=⇔ 0x 1 0 x =−⇒ 1 y =− 2 ( tm ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (xy ; )=−− ( 1; 2) 0,25 Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2222024++ 2027 n là số chính phương. Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho 2024 2027 nn2 2024 2 1012 1012 n 2+ 2 +=⇔ 2k 9.2 +=⇔+ 2 kk( 3.2)( k − 3.2) = 2 . 0,25 k +=3.21012 2a  ab 1013 ⇒−k 3.21012 = 2b ⇒−=2 2 3.2 . 0,25  ∈ += ab,, a b n
3. 4 A K O H D B M C E Ta có ACE =90 ° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒⊥EC AC . Mà H là trực tâm tam giác ABC ⇒⊥BH AC . Từ đó suy ra EC// BH . Tương tự HC// BE 0,25 Xét tứ giác BHCE có EC// BH và HC// BE nên tứ giác BHCE là hình bình hành. 0,25 Mà M là trung điểm của BC nên ba điểm HME, , thẳng hàng. Lại có ba điểm MKH, , thẳng hàng. Từ đó suy ra ba điểm KHE,, thẳng hàng. = ° ⇒=° Ta có AKE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AKM 90 . Xét ∆AKH và ∆MDH có: AKM= MDH ( =90 °) ; KHA = DHM (hai góc đối đỉnh). 0,25 HA HK ⇒∆AKH∽ ∆ MDH( g. g ) ⇒ = ⇒=HA HD HK HM . 0,25 HM HD 3. ( 1,0 điểm) Tia KD cắt đường tròn (O) tại I ( I khác K ), đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BC cắt AM tại J . Chứng minh rằng các đường thẳng AK, BC và HJ cùng đi qua một điểm. Kéo dài AK cắt đường thẳng BC tại S , ∆SAM có hai đường cao AD và MK cắt nhau tại H ⇒ H là trực tâm tam giác SAM .
4. 6 CM AN ' Mà PAN ' = ECM nên ∆∆ECM∽ PAN'.( g g ) ⇒=. (6) EM PN ' 0,25 AN'' AN Từ (5) và (6) và kết hợp BM= CM ⇒ = ⇒QN'' = PN ⇒≡ N N '. QN'' PN Vậy AN luôn đi qua một điểm cố định O . 0,25 111 Câu V. (1,0 điểm)Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ++=1. abc222 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 111 P = ++. 522a2++ ab b 22 522 b ++ bc c 22 522 c ++ ca a 2 Với abc,,> 0, chứng minh được: 111 1 1111  (abc++) ++ ≥⇒9 ≤  ++ abc abc++ 9  abc 2 2 22 111 1 1 1 ( xyz++) ≤3( x + y + z ) ⇒ ++≤3 + + abc a222 b c 0,25 Với ab,0> , ta có : 2 2 2 22 2 522(44)(2)a++= ab b a +++−+ ab b a ab b =(2ab + )22 +− ( ab ) ≥ (2 ab + ) 2 ⇒522a22 + abb + ≥ (2)2 ab +=+ 2 ab 0,25 1 1 11 1 1  12 1  ⇒ ≤ ≤ ++  = +  2229ab+  aab  9 ab  522a++ ab b 1 12 1 1 12 1 Tương tự: ≤+ ; ≤+ 522b22++ bc c 99bc 522c2++ ca a 2ca 0,25 1212121  1111  1  1 1 1  1 3 PP≤ +++++ = ++  ⇒≤⋅33  + +  =⋅ = 9abbcca3 abc  3 a222 b c 33 abc= =  Dấu “=” xảy ra ⇔ 111 ⇔===abc 3 ++=  2221 abc 3 Vậy max P = khi abc= = = 3 . 3 0,25 HẾT