Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi Bài 1. (2,0 điểm) xx 21 a) Cho biểu thức P :1  xx x x11 x x 1 1 Rút gọn P . Tìm tất cả các giá trị của x để P . 7 b) Cho phương trình ẩn x là x2 px q 0 1 (với pq; là các số nguyên tố). Tìm tất cả các giá trị của p và q biết phương trình 1 có nghiệm là các số nguyên dương. Bài 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình x 1 xx2 2 6 32 x. 22 2 x y2 xy b) Giải hệ phương trình 31 . 2 xy Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm cạnh BC. P là một điểm di động trên đoạn AM (P khác A và M). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, cắt đường thẳng BP tại K (K khác P). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AC tại A, cắt đường thẳng CP tại L (L khác P). a) Chứng minh BP BK CP CL BC 2 . b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC luôn đi qua hai điểm cố định. c) Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC và E là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AC. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB và F là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AB. Chứng minh EF // IJ. Bài 4. (1,0 điểm) Cho ba số dương xyz,, thỏa mãn xy yz zx 5. Chứng minh xy3 z 26 . xy22 5565 z 2 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? Bài 5. (2,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên x22 y xy2 x 5 x 4. b) Giả sử rằng A là tập hợp con của tập hợp 1; 2; 3; ; 1023 sao cho A không chứa  hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi A có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử? Hết Họ tên thí sinh: . Số báo danh: Cán bộ coi thi 1: . Cán bộ coi thi 2:
2. 22 xy= − ⇒+−x xy22 xy − y =⇔+ 0( x y)( x − 20 y) =⇔  xy= 2 0,25  xy= − xy=−= x1 =−⇒ ⇔ ⇔ ≠ Nếu xy22 3  do xy, 0. 0,25 xx+=2 x xy=11 = −  5 xy= 2 x = xy= 2  =⇒ ⇔⇔2 ≠ Nếu xy2 22 3 5 do xy, 0. 44yy+= y y = 5  4 y =  4 0,25 55 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( xy;)∈−( 1; 1) , ; 24 F A I L G K E P C B H M J 3 (3,0 Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, các trường hợp khác chứng minh tương tự. điểm) a) (1,0 điểm) BA là tiếp tuyến của đường tròn (APK) nên BA2 = BP.1 BK ( ) 0,5 CA là tiếp tuyến của đường tròn (APL) nên CA2 = CP.2 CL ( ) Từ (1) và (2) suy ra BPBK + CPCL =+= BA22 CA BC 2 0,5 b) (1,0 điểm) 2 Gọi AH là đường cao của tam giác ABC ⇒=BA BH.3 BC ( ) 0,5 Từ (1) và (3) ⇒=BP BK BH BC . Suy ra tứ giác HPKC nội tiếp nên đường tròn 0,5 ngoại tiếp tam giác PKC đi qua hai điểm cố định là C và H. c) (1,0 điểm) Theo câu b) đường tròn (J) đi qua H. Chứng minh tương tự (I) đi qua H. (I) và (J) cắt nhau tại H, P nên IJ⊥ HP (4) 0,25 HPEC nt⇒= AEP PHC (5) HPFB nt⇒= AFP PHC 6 ( ) 0,25 Từ (5) và (6) suy ra tứ giác APEF nội tiếp nên ⇒EPF = EAF =⇒⊥900 PE PF Trang 2
3. Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn. Trang 4