Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HẢI PHÒNG Năm học 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi Bài 1. (2 điểm)  ++  1xx 1 45 ≥≠ 1) Cho biểu thức Ax= −.4 −+  (với xx0, 1). xx−+11x −1  x  Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị của x để A ≥ 2 . 2) Cho hai phương trình (ẩn x ; tham số ab, ) x2 + ax += b 01( ) x2 ++ bx20 a = ( 2) Tìm tất cả các cặp số thực (ab; ) để mỗi phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn xxx21−= 0, trong đó x0 là nghiệm chung của hai phương trình và xx12, lần lượt là hai nghiệm còn lại của phương trình (1) , phương trình (2) . Bài 2. (2 điểm) 1) Giải phương trình 3x+− 22 xx =− 2 . x22++=+ y xy x 4 2) Giải hệ phương trình .  2 y+=−24 xy y Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB≠ AC) nội tiếp đường tròn (O) . Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc BAC của tam giác ABC . Đường thẳng AI cắt BC tại D , cắt đường tròn (O) tại EE( ≠ A) . a) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC . b) Kẻ IH vuông góc với BC tại H . Đường thẳng EH cắt đường tròn (O) tại F (FE≠ ) . Chứng minh AF⊥ FI . c) Đường thẳng FD cắt đường tròn (O) tại MM( ≠ F) , đường thẳng IM cắt đường tròn (O) tại N ( NM≠ ) . Đường thẳng qua O song song với FI cắt AI tại J , đường thẳng qua J song song với AH cắt IH tại P . Chứng minh ba điểm NEP,, thẳng hàng. Bài 4. (1 điểm) Cho các số thực dương xyz,,. Chứng minh rằng x xy y yz z zx ++≥3xyz . 222xy+ yz ++ zx Bài 5. (2 điểm) 1) Tìm các số nguyên dương xy, thỏa mãn y42+23 y −= xx 2 − 3. 2) Cho tập hợp X = {1;2;3; ;101}. Tìm số tự nhiên nn( ≥ 3) nhỏ nhất sao cho với mọi tập con A tùy ý gồm n phần tử của X đều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt abc,,∈ A thỏa mãn abc+=. HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2:
2. a) (1,0 điểm) A F N O Q J D C B H M E P I 3 (3,0 điểm) Có AI là phân giác góc BAC ⇒=BAE CAE ⇒=EB EC (1) 0,5 180°− ABC BAC ACB AEB Có EBI = CBI − CBE = − = = ⇒∆BEI cân tại E ⇒=EB EI (2) 2 222 0,5 Từ (1) và (2) suy ra E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI . b) (1,0 điểm) 1 1 IAF = DHE = sđ EF = sđ FC + sđ BE 0,25 2 2 ( ) ∆FCE## ∆ CHE ⇒ EC22 = EF EH ⇒ EI = EF EH ⇒∆ EIH ∆ EFI ⇒ EHI = EIF . 0,5 Suy ra IAF += AIF DHE +=° EHI 90 ⇒⊥AF FI . 0,25 c) (1,0 điểm) OJ FI nên OJ⊥⇒ AF J là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AFI ⇒ J là trung điểm AI⇒ P là trung điểm của IH . 0,25 Gọi Q là điểm đối xứng với I qua E . Có DQ DI= DM DF( = DB . DC) ⇒ MQFI là tứ giác nội tiếp ⇒=QFM QIM , mà MNE = MFE 0,25 ⇒=NEQ QFE . EQ22= EI = EH. EF ⇒∆ EQH# ∆ EFQ ⇒=QFE HQE . 0,25 Suy ra NEQ = HQE = QFE ⇒ EN QH . Mà E là trung điểm của IQ nên EN đi qua trung điểm P ( ) 0,25 của IH hay NEP,, thẳng hàng. Trang 2/5
3.  −   / 51 1 101 i 51 Nếu 51 a1 , do +>1  , ∀=ia1, 1 nên mỗi tập Bii ( =1, a1 − 1) chỉ chứa tối đa +1 phần aa112   a1 tử trong 51 phần tử còn lại của A . 51 ⇒ B chứa ít nhất 51−−(a 1) + 1 trong 51 phần tử còn lại của A . a1 1  a1 51 1  101   Ta chứng minh 51−(aB − 1) +> 1 =  −1  1  a1    aa112    51 1  101   51 ⇔+52,5  >   +a1 . aaa112    1 0,25 1 101   51 50,5 51 Do +a <+51 <+52,5 nên trong B có quá nửa số phần tử thuộc A ⇒ trong B  1   a1 a1 2 aa11   a 1 a1 chứa ít nhất 2 phần tử aa, thỏa mãn aaa−=, trừ trường hợp B lẻ. mn mn1 a1 Nếu B có 3 phần tử, tồn tại tập B nào đó có 4 phần tử chứa ít nhất 3 phần tử của A thỏa mãn có hai a1 j phần tử có hiệu bằng a1 . Nếu B ≥ 5 , khi đó các phần tử 2,4,6aaa∈ A thỏa mãn 246aaa+=. a1 111 111 Ta có đpcm trong mọi trường hợp A = 52 . Cách 2: Bổ đề: Xét tập AX⊂ sao cho không tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt abc,,∈ A thỏa mãn 101 abc+=. Gọi x=min Ak ; = . Khi đó x a) Trong tập Bm =++++{ x2 mx 1; x 2 mx 2; ;3 x + 2 mx} có nhiều nhất x số thuộc A (1). b) A ≤ 51. a) Ta có aA∉ hoặc axA+∉ suy ra (1) được chứng minh. 1 101 b) TH1: kn= 2 . (1) ⇒≤+=+A1 nx . 1 . ≤ 51,5 ⇒≤A 51. 2 x 101 TH2: kn=21 + .(1) ⇒≤++A1 n . x( 101 −− x 2 nx) = 102 − x( 1 +≤ n) 102 − x . = 51,5 ⇒≤A 51 2x . Vậy A ≤ 51, bổ đề được chứng minh. Suy ra n nhỏ nhất bằng 52 thỏa mãn bài toán. Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm. - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó. - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn. Trang 4/5