Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Quảng Trị (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ Khóa ngày 06 tháng 6 năm 2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)  2 xx−+22 Cho biểu thức Px=−−( 1) với xx≥≠0, 1. 2 x −1 + ( x 1) a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P. Câu 2. (2,0 điểm) 3 1. Giải phương trình 2xx2 += 4( x − 1) + 6 x − 1. 2 2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình xx−11 += 4 0. Hãy lập một phương trình bậc hai nhận hai số xx12+ 2 x 1 và xx21+ 2 x 2 làm hai nghiệm. Câu 3. (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn p22−=2q 1. 2. Ba cầu thủ của một đội bóng trò chuyện với nhau về số áo được in trên áo mỗi người, nội dung như sau: An: Tôi nhận ra rằng các số trên áo của chúng ta đều là số nguyên tố có hai chữ số. Bình: Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi đã trôi qua vào tháng này. Chung: Thật thú vị! Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi sắp tới vào tháng này. An: Và tổng hai số trên áo hai bạn là ngày hôm nay. Hãy xác định số áo của An, Bình và Chung. Câu 4. (1,0 điểm) 1. Cho biểu thức f() x= ax2 ++ bx c (với abc, ,∈> , a 0). Đặt ∆=b2 −4. ac Chứng minh rằng nếu ∆≤0 thì fx()≥ 0 với mọi số thực x. 2. Chứng minh rằng với mọi số thực xyz,, ta có: 3(xx2− + 1)( yy2 − + 1)( zz2 − + 11) ≥+ xyzxyz +2 22 . Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở B có BD là đường cao (D∈ AC). M là điểm thuộc đường trung trực ∆ của đoạn thẳng CD. Đường tròn đường kính MA cắt đường tròn tâm A bán kính AB tại E và F. a) Chứng minh AE 2 = AD AC b) Chứng minh MC= ME. c) Khi M di động trên ∆, chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. Câu Ý Nội dung yêu cầu Điểm 22 b b2 −∆4 ac  b Ta có fx()=+− ax =+−ax  1 2a 4 a  24 aa 0,25 Do vậy nếu a > 0 và ∆≤0 thì fx( )≥ 0, ∀∈ x 0,25 Đặt p=( x22 −+ x1)( y −+ y 1;) q = xy . Dễ thấy p>∀∈0, xy , 4 BĐT trở thành (3p− q22) z −( 3 p + qz) + 3 p −≥ 10 (1,0 22 điểm) Xét gz()=( 3 p − q) z −( 3 p + qz) +− 3 p 1 2 2222 Ta có: ∆=(3pq +) − 4( 3 pq −)( 3 p − 1) =− 3( pq −) − 12 p( 2 pq − − 1) 0,25 2 2 22 2 Vì 2pq−−=−++2 1[ xyxy ( ) 1] +−( xy) =−(1 x) ( 1 − y) +−( xy) ≥∀0, xy , ∈ Suy ra: 3pq−=+−>22 p 20 pq và ∆≤0, ∀xy , ∈ Vậy gz( )≥∀ 0, xyz , , ∈ (theo câu 4.1). Đẳng thức xảy ra khi xyz= = =1 0,25 5 2 (3,0 AD. AC= AB 0,5 a 2 điểm) = AE 0,5 22 2 2 AM=+= AE ME AD. AC + ME (1) 0,25 AM222=+=++ AG MG() AD DG22 MG b 22 =+MD AD( AD +=+ 2 DG ) MD AD. AC (2) 0,5 (1), (2) ⇒=⇒=MD ME MC ME 0,25 Do MF= ME nên từ b) suy ra ME= MC = MD = MF , hay CEDF nội tiếp Suy ra IE IF= IC ID (với I là giao điểm của CD và EF ) 0,25 Mặt khác GEAF,,, cùng thuộc một đường tròn nên IE IF= IG IA (với G là trung điểm CD ) 0,25 c Từ đó suy ra IC ID= IG IA 0,25 DG. DA Từ đây tính được ID = , suy ra I cố định. GA (có thể chứng minh I cố định bằng cách chỉ ra ∆AEI ∽ ∆AGE ) 0,25 HẾT 2