Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở Giáo dục và Đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở Giáo dục và Đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN – CHUYÊN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021 Câu 1. (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: A 4 10 2 5 4 10 2 5 . Câu 2. (2,0 điểm) Cho B 2 22 2 3 2 4 2 2021 2 2022 . Chứng minh rằng B 2 không phải là số chính phương. Câu 3. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC .Biết BC AB 2 cm , AC 10 cm và CAH 300 . Tính diện tích tam giác ABC. Câu 4. (2,0 điểm) Cho abc,, là các số nguyên thỏa mãn ab 20 cc 3 . Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 chia hết cho 6. Câu 5. (2,0 điểm) Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cô giáo là 38. Hỏi trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo? 2xy 3 x2 9 0 Câu 6. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 y 2 xy 9 0. Câu 7. (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 m 1 xm 2 2 0 ( x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn 2x1 x 2 4 (biết x1 x 2 ). Câu 8. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC và đường tròn A; AB chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B). Tia CE cắt AD tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của AD. Câu 9. (1,5 điểm) Cho abc,, là các số dương và a b c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất a3 b 3 c 3 biểu thức: P . a2 4 ab b 2 b 2 4 bc c 2 c 2 4 ca a 2 Câu 10. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có BAD 900 . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K . Chứng minh rằng bốn điểm KH, , DC , cùng thuộc một đường tròn. HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Ký tên Giám thị 2: Ký tên:
2. Câu 3 Cho tam giác ABC, đường cao AH H BC . Biết AC 10 cm , (2,5 điểm ) BC AB 2 cm và CAH 300 . Tính diện tích tam giác ABC. A 10cm 30° C B H - Tính được: CHAC .sin300 5 cm AH ACc. os300 5 3 cm 0,5 điểm 2 2 2 - Viết được: AB HB AH 2 2 2 AB BC 5 5 3 0,5 điểm - Lập luận : BC AB2 cm AB BC 2 0,5 điểm BC 2 2 BC 5 2 75 BC 2 BC 5 BC 2 BC 5 75 0,5 điểm - Tính được: BC 16cm AH. BC 5 3.16 - Vậy S 40 3 cm2 0,5 điểm ABC 2 2 Câu 4 Cho abc,, là các số nguyên thỏa mãn ab 20 cc 3 . (2,0 điểm ) Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 chia hết cho 6. - Biến đổi được: 3 3 ab 20 cc abccc 18 c abccc 1 c 1 18 c 0,5 điểm 0,5 điểm - Chứng minh được: abccc 1 c 1 18 c 6 - Mặt khác: abc3 3 3 ( abc ) (a 1) a ( a 1) (b 1)b(b 1) (c 1)c(c 1)6 0,5 điểm 3 3 3 - Lập luận kết luận a b c chia hết cho 6 0,5 điểm
3. xx1 2 1 m (2) 0,25 điểm - Theo định lí Viet ta có: xx. m2 2(3) 1 2 xx1 21 m (2) xm 1 5 - Giải hệ 0,25 điểm 2xx1 2 4 (1) x 2 6 2 m Mà x 0 x nên ta được m 3. 1 2 - Thay x m 5, x 6 2 m vào (3) ta được phương trình: 1 2 0,25 điểm 2 m 2 (m 5)(6 2m) m 2 . m 14 0,25 điểm - Kết hợp m 3 ta được m 2 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 8 Cho hình vuông ABCD . Vẽ đường tròn tâm O đường kính (2,5 điểm ) BC và đường tròn A; AB chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E khác B). Tia CE cắt AD tại điểm F. Chứng minh rằng F là trung điểm của AD . B O C H E D A F 0,5 điểm - Kẻ đoạn nối tâm OA và dây chung BE OA  BE - Chứng minh được: BE CF 0,5 điểm 0,5 điểm - Chứng minh được:OA// CF - Chứng minh được tứ giác AOCF là hình bình hành 0,5 điểm OC FA. BC AD AD 0,5 điểm - Lập luận: từOC AF F là trung điểm của 2 2 2 AD.
4. (2,0 điểm ) đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K .Chứng minh rằng bốn điểm KH, , DC , cùng thuộc một đường tròn. K O A M B C D H Gọi M là trung điểm AB . Để chứng minh bốn điểm KH, , DC , cùng thuộc một đường tròn, ta đi chứng minh DKH DCH . - Chứng minh được: DCH ABC AKC 0,5 điểm Khi đó ta đi chứng minh DKA HKM . Bài toán được hoàn thành nếu ta chứng minh được tam giác DKA đồng dạng tam giác HKM. - Chứng minh được: KAD KMH 0,5 điểm Ta có: KAD 180  KAC 180  DAC KBC ACH mà KMH MHC MCH MBC MCA ACH KBC ACH Suy ra KAD KMH (1) - Chứng minh được: KMA # BMC KA BC AD AK MK (2) KM BM MH AD MH 0,5 điểm - Từ (1) và (2) suy ra DKA # HKM DKA HKM Mà DKH DKA AKH HKM AKH AKC DKH DCH Và kết luận bốn điểm KH, , DC , cùng thuộc một đường tròn. 0,5 điểm (Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng giám khảo phân bước cho điểm tương ứng)