Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Vĩnh Long (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Vĩnh Long (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa thi ngày: 04/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2.0 điểm) x 3 x 2 1 1 a) Cho biểu thức P : với x 0 và x 4. Rút gọn biểu thức xx 8 x 2 x P và tìm giá trị của P tại x 14 6 5 . 3 2 2 3 2 2 b) Tính giá trị biểu thức . 17 12 2 17 12 2 Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình x2 ( m 2) xm 3 0 ( x là ẩn số, mlà tham số). 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 sao cho biểu thức A 2 xx1 2 x 1 x 2 3 đạt giá trị lớn nhất. Câu 3. (1.5 điểm) a) Giải phương trình x 1 2 x 1 5. xx( 3)(2 xy ) 30 b) Giải hệ phương trình . 2 x 5 xy 13 Câu 4. (1.5 điểm) a) Cho A 2 12023 2 2023 2022 2023 . Chứng minh rằng A chia hết cho 2022 . b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x2 5 y 2 4 x 21. Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB . Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AO ( H A, H O ). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn O tại C và D . Hai đường thẳng BC và AD cắt nhau tại M . Gọi N là hình chiếu của M trên đường thẳng AB . a) Chứng minh ACN AMN . b) Chứng minh CH2 NH. OH . c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC tại E . Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH . Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn O; R , trên dây cung DC lấy điểm E sao cho DC 3 DE , đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC tại M . Gọi I là giao điểm của BM và DC , vẽ OH vuông góc với DM tại H . Tính độ dài các đoạn thẳng AE và DI theo R . Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm a , b . a) Chứng minh a b2 a2 b 2 . 2ab b) Biết a2 b 2 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . a b 2 - HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD:
2. 2 2 2 Axx 21 2 xx 1 2 3 6 xx 1 2 xx 1 2 3 m 10 m 19 0.25 Am6 ( 5)2  6, m . Dấu đẳng thức xảy ra khi m 5 0 m 5 (thỏa điều kiện m 4 ) 0.25 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là Max A 6 khi m 5. Câu 3. (1.5 điểm) a) Giải phương trình x 1 2 x 1 5. xx( 3)(2 xy ) 30 b) Giải hệ phương trình . 2 x 5 xy 13 3 1.5 Ta có x 1 2 x 1 5 x 1 0.25 3x 2 2 ( xx 1)(2 1) 25 x 1 1 x 9 . 0.25 2 2 2 2 2xx 3 1 27 3 x 4(2xx 3 1) (27 3) x 1 x 9 x 5 . 2 0.25 x 150 x 725 0 (x2 3 xxy )(2 ) 30 b) Hệ đã cho tương đương với 2 x 3 x 2 xy 13 2 t 10 Suy ra x2 3 x và 2x y là 2 nghiệm của phương trình t 13 t 30 0 0.25 t 3 x2 3 x 10 x2 3 x 3 Vậy hệ đã cho tương đương với (I ) hoặc (II ) 2x y 3 2x y 10 2 2 x 2 y 1 Giải (I): xx 3 10 xx 3 10 0 x 5 y 13 3 21 x y 13 21 Giải (II): x2 3 x 3 0 2 3 21 0.5 x y 13 21 2 3 21 3 21 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm ; ; 2; 1 ; ;13 21 ;13 21 2 2 5;13 . Câu 4. (1.5 điểm) a) Cho A 2 12023 2 2023 2022 2023 . Chứng minh rằng A chia hết cho 2022 . b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x2 5 y 2 4 x 21. 4 1.5 a) Với 2 số nguyên dương a, b bất kì ta có: a2023 b 2023 ( a b ).  Ta có: 2
3. b) Ta có: ACN AMN AMN ADC (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB) 0.25 AB CD suy ra H là trung điểm của CD . Tam giác ACD là tam giác cân do AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. 0.25 Suy ra ADC ACD . Từ đó ta có: ACN ACD . Ta có: NCO ACN ACO ACD OAC 90O . Suy ra CN CO . 0.25 NCO vuông tại C CH2 NH. OH . 1 c) ACE EAC (cùng bằng sd AC ). AEC cân tại E E thuộc đường trung 2 trực của AC . Gọi F AE  BM 0.25 Ta có C thuộc đường tròn đường kính FA . Nên đường trung trực của AC phải cắt đường kính FA tại tâm của đường tròn này. Suy ra E là trung điểm của FA . CK KH BK Gọi K CH  BE . Ta có: CH// FA nên . FE EA BE 0.25 Mà FE EA nên CK KH . Vậy BE đi qua trung điểm của CH . Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn O; R , trên dây cung DC lấy điểm E sao cho DC 3 DE , đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC tại M . Gọi I là giao điểm của BM và DC , vẽ OH vuông góc với DM tại H . Tính độ dài các đoạn thẳng AE và DI theo R . 6 1.0 R 2 2R2 2 5 Ta có AD R 2 ; DE ; AEADDE 2 22 R 2 R . 0.25 3 9 3 Tam giác DOM cân tại O mà OH DM 1 1 Suy ra DOH DOM sd DM DAM 2 2 0.25 DH DE R 10 R 10 OHD∽ ADE DH DM OD AE 10 5 ME DE MD Ta có DEM∽ AEC (g-g) CE AE AC 0.25 ME DE MD2 1 ME1 ME 1 . AE CE AC2 10 AE5 AM 6 4