Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT tỉnh Bình Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT tỉnh Bình Dương (Có đáp án)

1. Hướng dẫn giải: Bài 1. (2,5 điểm)  a a a a a++ b2 ab Cho biểu thức A =+−− :  với a và b  ab+ ba−− ababab+ ++2  ba là các số thực dương khác nhau. a) Rút gọn biểu thức A .  aa a a b) Tính giá trị của B =+− :  khi a =7 − 43 và  ab+ ba−  ababab+ ++2  b =7 + 43. Lời giải a) Với ab, là các số thực dương khác nhau, ta có:  a a a a a++ b2 ab A =+−− :   ab+ ba−− ababab+ ++2  ba 2 a a aa ( ab+ ) =−: −+ 2 ab++abab+−ab + abab+− ( )( ) ( ab) ( )( ) 2 aa( −− ba) aa( +− ba) ( a + b) = + : 2 ( abab+−)( ) ( ab+ ) ( abab+−)( ) 2 a−− ab a a +− ab a ( ab+ ) = + : 2 ( abab+−)( ) ( ab+ ) ( abab+−)( ) 22 − ab ( ab++) ( ab) = . + ( abab+−)( ) ab ( abab+−)( ) −+( ab) ab+ = +=0 . ab−− ab Vậy A = 0. b) Theo a), ta có:  a a a a −− ab B =+−= :  .  ab+ ba−  abababab+ ++2  − Khi a =7 − 43và b =7 + 43 thỏa mãn ab, là các số thực dương khác nhau, ta có: 2 a =−74323 =( −) =−=− 2323; 2 b =+74323 =( +) =+=+ 2323; 2 / 6
2. =S 1  (TM ) S=+≥ ab0 SP+=1 22 S + P = 2 SS2 +2 −= 30 P = 0 Đặt ⇒⇔ ⇔ ⇔ .  22   P= ab ≥ 0 SP−=21 SP −= 21  P =− 1 S S = −3  (KTM ) P = −4 ab+=1 Với SP=1; = 0 ta có  ⇒ ab, là hai nghiệm của phương trình ab = 0 2 x = 0 x−=⇔ x0 xx( − 10) =⇔ . x = 1 Vậy ab=0; = 1 hoặc ab=1; = 0 ;  x = 0 Với ab=0; = 1 ⇒ ⇔=x 0 (thỏa mãn);  11−=x  x = 1 Với ab=1; = 0 ⇒ ⇔=x 1 (thỏa mãn);  10−=x Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}. 7 6 33 b) Với mọi a ∈  ta có: A= a −= a aa( −1) = aa( − 11)( a +) . Nếu aA77⇒ ; Nếu a không chia hết cho 7 thì aa≡1, 2, 3, 4, 5, 6( mod 7) ⇒≡3 1, 6( mod 7 ) ⇒−a3 17 hoặc aA3 +⇒17 7. Vậy A7 với mọi a ∈  . Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn (O) , M là trung điểm BC ; BE, CF là các đường cao ( EF, là chân các đường cao). Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại S . Gọi NP, lần lượt là giao điểm của BS với EF, AS với (O) ( PA≠ ). Chứng minh rằng: a) MN⊥ BF . b) AB CP= AC BP . c) CAM = BAP . Lời giải 4 / 6
3. CP SC ⇒∆SCP∽ ∆ SAC( g. g ) ⇒ = (2) ; AC SA Mà theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có SB= SC (3); BP CP Từ (1), (2) và (3) ta có: =⇔=AB CP AC BP . AB AC c) CAM = BAP . Vận dụng định lý Ptolemy, ta có tứ giác ABPC nội tiếp (O) ⇒=+ AP BC AB CP AC BP ; Theo câu b) thì AB. CP=⇒= AC . BP AP . BC 2. BP AC ⇒ AP .2 CM = 2. BP AC AP AC ⇒AP CM = BP AC ⇒= ; BP CM Xét ∆BPA và ∆MCA có: AP AC BPA = MCA (hai góc nội tiếp cùng chắn AB ); = (chứng minh trên); BP CM ⇒∆BPA∽ ∆ MCA( c g c) ⇒ CAM = BAP . = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 6 / 6