Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO NĂM HỌC: 2020 - 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Hệ số 2 - Chuyên Toán) (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. xy x y 5 . Giải hệ phương trinh: 2 2 xy x y 7 Câu 2. a) Cho p và p 2 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p 1 chia hết cho 6. b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 p 1 là lập phương của một số nguyên dương. Câu 3. 1 1 1 Cho các số thực x, y, z 1 thỏa mãn 2. Chứng minh rằng: x y z x y z x 1 y 1 z 1. Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là một điểm tùy ý trên cạnh BC với K BKC, . Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK. Chứng minh rằng M , HN, thẳng hàng. Câu 5. Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường tròn có đúng 12 điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài. Hết
2. Câu 4. Ta có: AF  AB AE  AC do tứ giác BCEF nội tiếp. Gọi I là giao điểm của AK với BFK , ta có: AI  AK AF  AB AE  AC 1 . Gọi I là giao điểm của AK với CEK , ta có: AI  AK AE  AC AF  AB 2 . Từ 1 và 2 suy ra I  I . Hay AK đi qua I là giao điểm thứ hai của đường tròn BFK và CEK với K I. Ta có EI F EIA AIF ACB ABC 1800 BAC . Suy ra tứ giác AEIF nội tiếp. Mà tứ giác AEHF nội tiếp nên năm điểm A, EIFF,,, cùng thuộc một đường tròn. Suy ra: AIH AFH 900 hay HI IK 3 . Mặt khác M IK NIK 900 nên M , IN, thẳng hàng và MN IK 4 . Từ 3 và 4 suy ra M , HN, thẳng hàng. Ta có điều phải chứng minh. Câu 5. Trước hết ta chứng minh tồn tại một điểm P mà khoảng cách từ P đến 20 điểm đã cho là khác nhau. Thật vậy, khoảng cách từ P đến hai điểm A, B bằng nhau khi và chỉ khi P nằm trên đường trung trực của AB. Do đó chỉ cần chọn điểm P không nằm trên đường trung trực của bất cứ đoạn thẳng nào tạo bởi 20 điểm đã cho. Gọi khoảng cách của P đến 20 điểm đã cho lần lượt là d1 d2 d 3 d20. Xét đường tròn tâm P bán kính d12 , đường tròn này chứa đúng 12 điểm có khoảng cách đến P gần nhất. Ta có điều phải chứng minh. HẾT