Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Tiền Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Tiền Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH TIỀN GIANG Năm học 2021-2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi có 01 trang, gồm 04 bài) (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 05/6/2021 Bài I. (3,0 điểm) 32− 1. Tính giá trị của biểu thức Px=−202210 x 2021 ++ x 2020 2021 tại x = . 32+ 2. Giải phương trình: xx+2 −=1 x ++ 1 x −+ 14. x33+=−38 xy 3. Giải hệ phương trình: .  22 xy+=+ y2 Bài II. (3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (Pyx) : = 2 và đường thẳng (dy) :2= − x. Gọi A, B là hai giao điểm của đường thẳng (d ) với parabol (P) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. 2. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 −2 x − 2 mx −+= 120 vô nghiệm. 3. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 111 biểu thức M =++. ab22++23 bc 22 ++ 23 ca 22 ++ 23 Bài III. (1,0 điểm) Cho m, n là các số nguyên dương sao cho mnm22++ chia hết cho mn . Chứng minh rằng m là số chính phương. Bài IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB) có đường cao AH. Gọi D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D khác A và H). Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F (F nằm giữa B và D). Qua F vẽ đường thẳng song song với AE cắt hai đường thẳng AB và AH lần lượt tại M và N. a) Chứng minh BH.BC = BE.BF. b) Chứng minh HD là tia phân giác của góc EHF . c) Chứng minh F là trung điểm MN. HẾT Thí sinh được sử dụng các loại máy tính cầm tay do Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Trang 1/1
2. II = 2 = − (3,0 đ) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (Pyx) : và đường thẳng (dy) :2 x. Gọi A, B là hai giao điểm của đường thẳng (d ) với parabol (P) . Tìm tọa độ điểm M nằm 1,0 trên trục hoành sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d ) : x2 =−⇔=21 xx hoặc x = − 2. 0,25 Do đó không mất tính tổng quát giả sử AB(1;1) ,(− 2; 4 ) . Do AB không đổi nên chu vi ∆ MAB nhỏ nhất ⇔ MA + MB nhỏ nhất. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành ⇒ A'( 1;− 1) . Ta có: MA= MA' ⇒+=+≥ MA MB MA '' MB A B . 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AMB', , thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của AB' và trục Ox. Phương trình đường thẳng AB' có dạng: y= ax + b .  5 a = − ab+=−1  3 52 0,25 Ta có: ⇔ ⇒ AB': y=−+ x . −24ab += 2 33  b =  3 2 Từ đó tọa độ giao điểm của AB' và Ox là M ;0 . 5 0,25 2 Vậy chu vi ∆ MAB nhỏ nhất khi M ;0 . 5 2. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 −2 x − 2 mx −+= 120 1,0 vô nghiệm. Đặt tx= −≥10 ⇒ tx22=−+21 x. Phương trình thành: t2 −2 mt += 10.(*) 0,25 Phương trình đã cho vô nghiệm khi: TH1: Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆' =mm2 − 10 0 10> Kết hợp (1) và (2) ta được m < 1. 0,25 Cách giải khác: Đặt tx= −≥10 ⇒ tx22=−+21 x. Phương trình thành: t2 −2 mt += 10. (*) 0,25 Ta tìm m sao cho phương trình đã cho có nghiệm ∆≥'0  0,25 ⇔ phương trình (*) có 2 nghiệm tt12≥≥0 ⇔ S ≥ 0  P ≥ 0 Trang 2/4
3. a) Chứng minh BH.BC = BE.BF . 0,75 Ta có: ∆∆BAF∽ BEA (g.g) vì có ABF chung và BAF = AEB (cùng chắn cung AF ). 0,25 BA BF Suy ra: =⇒=BE. BF BA2 . 0,25 BE BA Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: BA2 = BH. BC ⇒ BH.BC = BE.BF. 0,25 b) Chứng minh HD là tia phân giác của góc EHF . 1,0 BH BF Ta có: ∆∆BHF∽ BEC (c.g.c) vì có HBF chung và = (suy từ câu a). 0,25 BE BC Suy ra: BHF = BEC (1) ⇒ tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn. 0,25 Do đó, EHC = EFC (cùng chắn cung EC ) 0,25 = CEF (do ∆ CEF cân tại C). (2) Từ (1) và (2) ⇒ FHB = EHC ⇒ DHE =−=−=−= DHC EHC 900 EHC DHB FHB DHF . 0,25 Do đó, HD là tia phân giác của góc EHF . c) Chứng minh F là trung điểm MN. 1,0 MF BF Vì MF// AE nên theo định lý Ta-lét ta có: = .(3) 0,25 AE BE NF DF Vì NF// AE nên theo định lý Ta-lét ta có: = . (4) 0,25 AE DE Xét ∆ EHF có HD ⊥ HB và HD là tia phân giác trong của góc EHF nên HB là tia phân BF HF DF 0,25 giác ngoài của góc EHF ⇒ = = . (5) BE HE DE MF NF Từ (3), (4), (5) ⇒ = ⇒ MF = NF ⇒ F là trung điểm MN. 0,25 AE AE HẾT Trang 4/4