Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Bình Phước (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Bình Phước (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (CHUYÊN ) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 07/06/2022 23x+ xx −+ 1 x2 x Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức P =+− với xx>≠0, 1. x x−+ x xx x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình ( x−1)( x2 −+ 2 xm) = 01( ) với m là tham số. Tìm tất cả các 1111 giá trị của tham số m để phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt thỏa mãn ++=. xxx1233 Câu 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: ( x−1)( x − 3) += 64 xx2 − 4 + 6. x22+4 xy + 10 x − 12 y − 12 y += 9 0  b) Giải hệ phương trình:  x + 5 .  32y −− =xy −22 y −  2 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC . Gọi IJ, lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng BC,. CA Đường thẳng IJ cắt đường thẳng AB tại K . a) Chứng minh bốn điểm BKM,, , Icùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra MK⊥ AB. b) Gọi MMM123,, lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng BC,,. CA AB Chứng minh bốn điểm MMM123,, và H thẳng hàng. c) Chứng minh khi điểm M di động trên cung nhỏ BC ta luôn có M23 M≤ 4 R .sin BAC . Xác định vị trí của điểm M khi dấu bằng xảy ra. Câu 5. (1,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x22−6 y + xy + 2 y −−= x 7 0. b) Cho xy, là các số nguyên thỏa mãn xy22−+2021 2022 chia hết cho xy . Chứng minh rằng xy, là các số lẻ và nguyên tố cùng nhau. Câu 6. (1,0 điểm) a) Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn ab+=2. ab22 Chứng minh: +≥1. ba++11 b) Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn ab+ a +++= b16 c . 2abc+++ 12 12 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =++. abc+++112 HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. Ta có: x =1 x−12 x2 −+ xm =⇔ 0 ( )( )  2 0.25 x−2 xm += 0*( ) Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt xxx123,, thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. 0.25 ∆='1 −m > 0 m <1 ⇔ ⇔<m 1 0.25 ≠ =−+2 ≠  f(10) ( fx( ) x 2 x m) m 1 Do vai trò các nghiệm như nhau, gọi x3 =1 và phương trình (*) có hai nghiệm 0.25 xx+=2 12 phân biệt xx12, thỏa mãn hệ thức viet  xx12= m 1111 Từ yêu cầu bài toán: ++= thì phương trình (*) phải có nghiệm khác 0 xxx1233 0.125 hay m ≠ 0 1111xx+ 2 2 2 0.375 + + =⇔12 =−⇔ =−⇔m =−3 thỏa mãn điều kiện. x1 x 2 x 3 3 xx12 33 m Câu 3. (2 điểm) Nội dung Điểm a) Giải phương trình: ( x−1)( x − 3) += 64 xx2 − 4 + 6. Phương trình đã cho ⇔−+−xx22464 xx −++= 4630 0.25 Đặt txx=2 −4 +≥ 60 2 t =1 0.25 Phương trình trở thành: tt−4 += 30⇔  t = 3 x =27 + 0.25 Với t=⇒3 xx22 −+=⇔−−=⇔ 4 63 xx 4 30  x =27 − Với t=⇒−+=⇔−+=1 xx22 4 61 xx 4 50( vn) . 0.25 b) Giải hệ phương trình: x22+4 xy + 10 x − 12 y − 12 y += 9 0   x + 5 .  32y −− =xy −22 y −  2 2
3. BC,, CA AB . Chứng minh bốn điểm MMM123,, và H cùng thuộc một đường thẳng. Chứng minh khi điểm M di động trên cung nhỏ BC ta luôn có M23 M≤ 4 R .sin BAC . Xác định vị trí của điểm M khi dấu bằng xảy ra. a) a) Ta có: MIC = MJC = 900 ( gt) nên tứ giác IJCM nội tiếp 0.125 Do đó: KIM = JCM ( trong bằng ngoài đỉnh đối) 0.125 Tứ giác ABMC nội tiếp nên KBM = ACM = JCM 0.25 Từ đó suy ra KIM = KBM ⇒ BIMK nội tiếp. Vậy bốn điểm BKM,, , Icùng thuộc một đường tròn. 0.25 Do BIM =⇒9000 BKM =⇒⊥90 MK AB (đpcm) 0.25 Lưu ý: khi học sinh vẽ điểm M sao cho J nằm ngoài AC, K nằm trong AB vẫn đạt điểm tối đa. b) Ta có IJ// M12 M , JK // M 23 M . 0.125 và theo giả thiết có IJK,, thẳng hàng nên ta có các điểm MMM123,, thẳng hàng. 0.125 4
4. xy−=−21  xy −=− 21 x =− 3 * ⇔⇔  (nhận) 0.125 xy+31 −=− 7  5 y =− 5 y =− 1 xy−=21 xy −= 21 * ⇔ (vn) xy+3 −= 17 5 y = 7 xy−=27  xy −= 27 x = 5 * ⇔⇔ . xy+3 −= 11  5 y =− 5 y =− 1 Vậy các cặp nguyên ( xy, )thỏa mãn phương trình là (−−3;1,5;1) ( −) . 0.125 b) Cho xy, nguyên và thỏa mãn xy22−+2021 2022 chia hết cho xy . Chứng minh rằng xy, là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau. *Nếu xy, là hai số chẵn thì xy22−+2021 2022 không chia hết cho 4 và xy chia 0.125 hết cho 4 (vô lý). Nếu xy, có một số chẵn, một số lẻ thì xy22−+2021 2022 là số lẻ và xy là số chẵn (vô lý). Vậy xy, là các số lẻ. 0.125 *Giả sử ( xy, ) = d suy ra xy22− 2021 và xy chia hết cho d 2 . 0.125 Từ giả thiết suy ra 2022 chia hết cho d 2 . Lại do 2022= 2.3.337 nên d ∈{1,2,3,337} . 0.125 Nếu d >1 thì 2022 chia hết cho hoặc 4,9,3372 (vô lý). Câu 6. (1 điểm) Nội dung Điểm ab22 a) Cho các số thực dương ab, thỏa mãn ab+=2. Chứng minh rằng: +≥1. ba++11 2 ab22(ab+ ) 0.25 * Xét BĐT +≥ với xy,0> . x y xy+ 2 Biến đổi tương đương a22 y+ b 22 x ≥20 abxy ⇔−( ay bx) ≥(đúng) 2 ab22(ab+ ) 0.25 *Khi đó +≥ =1(điều phải chứng minh). b+11 a + ab ++ 2 a) Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn ab+ a +++= b16 c . 2abc+++ 12 12 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =++. abc+++112 112 Ta có P =−−−6 . abc+++112 0.125 6