Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Hà Nam (Có đáp án)

1. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức: xx−−2 39 − x 1 A= + − : (x≥ 0; xx ≠≠ 1; 4). x+32 − xx +− x6 x + 2 x − 3 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm tất cả các giá trị của x để A >−2 . Câu II. (2,0 điểm) 1. Cho đường thẳng (d ) có phương trình ym=−( 2) xm +− 21 (với m là tham số) và điểm A(−1; 2 ). Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn nhất. 22 22 ( xy−−1.) ( xy ++=+−++ 1) xyxy3 2. Giải hệ phương trình:  2  x++6 y +=−+ 3 xx 28 + Câu III. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB< AC) có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (OR; ). Các đường cao AK,, BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (OR; ) tại các điểm lần lượt là MNP,, ( M khác A , N khác B , P khác C ). 1. Chứng minh EF// PN . EF. R 2. Chứng minh diện tích tứ giác AEOF bằng . 2 AM BN CP 3. Tính giá trị của biểu thức ++. AK BE CF 4. Gọi S và Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến các cạnh AB, AC . Đường thẳng QS cắt BC tại G , đường thẳng GA cắt đường tròn (OR; ) tại điểm J ( J khác A ). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS . Chứng minh ba điểm IKJ,, thẳng hàng. Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn: x4−6 x 3 + 18 xy 22 −− 32 xy ++= 4 20 0. Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn a222+++ b c ab −220 bc − ca =. abc222++ c 2 ab + +≥ Chứng minh: 22 2 3 . a+ b() abc +− ab + HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu, người coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Người coi thi số 1: Người coi thi số 2:
2. 2 x ≥−6 ĐK:  0,25 y ≥−3 ( xy−−1.) ( xy22 ++=+−++ 1) xyxy 22 3 ⇔xy −−2. x22 + y + 2 = 0 ( ) ( ) 0,25 ⇔−−=x y20( x22 + y +>∀ 20 xy ,) Thay yx= − 2 vào phương trình (2) x+6 + x + 1 =− xx2 + 2 + 8, ( x ≥− 1) 2 0,25 ⇔x +63 −+ x +−+ 12 xx − 2 −= 30 xx−−33 ⇔ + +( xx −3)( += 10) xx+63 + ++ 12 11 ⇔( xx −3)+ ++10 = xx+63 + ++ 12 11 ⇔x =3 do + +xx +1 > 0, ∀ ≥− 1 0,25 xx+63 + ++ 12 xy=⇒=3 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( xy;) = ( 3;1) Câu III. (4 điểm) Cho tam giác ABC ( AB< AC) có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (OR; ) . Các đường cao AK,, BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (OR; ) tại các điểm lần lượt là MNP,,( M khác A , N khác B , P khác C ). 1. ( 1,0 điểm) Chứng minh EF// PN . BEC = BFC =900 ⇒ tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC 0,25 ⇒=CBE CFE ( góc nội tiếp cùng chắn cung EC ) 0,25 Mà CBE = CPN ( góc nội tiếp cùng chắn cung CN ) 0,25 ⇒=⇒CFE CPN EF// PN 0,25
3. 4 AKQ= BCQ (cùng phụ với CKQ ) Do đó ASQ= BCQ Suy ra BSQC là tứ giác nội tiếp. ⇒=GBS GQC GB GS ∆GBS∽ ∆ GQC(.) g g =>==>=GB. GC GS . GQ (1) GQ GC Vì ASKQ là tứ giác nội tiếp nên: GQK = BAK Mà BAK = GKS (cùng phụ với SBK ) nên GQK = GKS GQ GK ∆GQK∽ ∆ GKS(.) g g =>==>=GK2 GS. GQ (2) GK GS Từ (1) và (2) ⇒=GK2 GB. GC 0,25 GJ GB GJB = GCA =>∆ GJB∽ ∆ GCA => = GC GA =>=GJ GA GB GC GK GJ ⇒GK2 = GJ.A G ⇒= GA GK ∆GKJ∽ ∆⇒== GAK GJK GKA 900 AJ JK ⇒ JK cắt (O) tại D ( D khác K ) thì AD là đường kính của (O) . ⇒ ⊥ Gọi I là trung điểm KD , L là trung điểm QC . 0,25 Khi đó OI là đường trung bình của ∆AKD ⇒ OI// AK ⇒⊥ OI BC Mà OB= OC nên OI là trung trực BC (3) Vì KQ// DC (cùng vuông góc AC ) nên KQCD là hình thang. IL là đường trung bình của hình thang KQCD IL// KQ⇒⊥ IL QC ⇒ 0,25 IL là trung trực của QC (4) ⇒ Từ (3) và (4) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSQC ⇒ Vậy IKJ,, thẳng hàng. ⇒ Câu IV. (1 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn: x4−6 x 3 + 18 xy 22 −− 32 xy ++= 4 20 0. x4−6 x 3 + 18 xy 22 −− 32 xy ++= 4 20 0 xx43 −6 + 18 x 2 − 32 x + 24 = yy2 − 4 + 4 0,25 −22 − + = − 2 (x 2) ( xx 2 6) ( y 2) Với yx=⇒=22 Với y ≠ 2 ta có (y – 2)2 và (x – 2)2 là số chính phương khác 0 nên xx2 −+26là số chính 0,25 phương. 22* Đặt xx−26 += m()mN∈