Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,00 điểm) xxx 211 a) Cho biểu thức A  : xxxxxx 1111 625625 Rút gọn biểu thức A; tính giá trị của A, biết x  26252625 11 b) Cho biết 21,1. ab Chứng minh rằng ababab 112222 . ab Câu 2. (6,00 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau: 333 a) xxx 353520 . 3 xyxyy 32632 b) 32 32.xyy Câu 3. (3,00 điểm) Cho đoạn thẳng AB, với M là trung điểm. Trên đường trung trực Mt của đoạn thẳng AB lấy điểm I bất kì. Vẽ tia Ax sao cho AI là phân giác góc BAx. Đường thẳng BI cắt Ax tại N. Gọi C là điểm đối xứng của A qua N, H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. a) Chứng minh rằng tam giác NHB cân. b) Chứng minh đẳng thức: BHHIBN2 c) Khi điểm I di chuyển trên đường trung trực Mt đến vị trí làm cho tam giác ABC AB vuông tại C, hãy tính tỉ số  AC Câu 4. (1,00 điểm) Cho phương trình axbxc2 0 ( 0a ) , với abc,, là số thực thỏa 2a b c 0. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm không thể đều dương. Câu 5. (3,00 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AB, H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại E. Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng DC. a) Chứng minh BH vuông góc với AI. b) Đường thẳng qua B vuông góc với BH cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp. Câu 6. (3,00 điểm) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: xy 1,0 1. Chứng minh rằng: 11 xy  x 11 y x22 y y x Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: ;Chữ kí giám thị 2:
2. uv 0 33 3 PTĐC viết lại là: u v u v 0 3 u v uv 0 u 0 1,00 đ v 0 35 (1):uvxxx 0350 2 (2): ux 0 3; (3): vx 05 . 1,00 đ  35 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ;3;5 . 2 Cách 2: Đặt axbxcx 3,5,352 . Khi đó: abcabc333 3 (chứng minh). Từ đó ta có nghiệm như cách 1. 3 32 xyxyy 326(1) b) 3,00 đ 32 32(2)xyy u x y y2 2 Đặt 2 . Dễ thấy y 0 . Từ (2) suy ra 30xy 2 , do đó ta luôn có vy y 0,50 đ uv 0,0 (3). uuvv3 326(4) Ta có hệ phương trình mới: 32(5).uvv 0,50 đ u3 4 Thế (5) và (4) ta được: v (6). 5 Thế (6) vào (5) ta được: 4332 3121401uuuuuuu 322140 (7). 1,00 đ Đối chiếu với điều kiện (3) thì 322140uuu32 nên (7) có nghiệm u 1. Với , từ (6) suy ra v 1 hay yyx2 111 . 1,00 đ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: xy;1;1 và xy;1;1 . 3 3,00 đ a) Chứng minh NHB cân 1,00 đ t AHC vuông tại H có HN là trung tuyến nên NA = NC = NH nên HNA x 0,50 đ cân tại N, suy ra NHA NAH , do đó C NHAIABIBHNBH 222 (1). N Theo tính chất góc ngoài của tam giác I thì NHA HNB HBN (2). 0,50 đ Từ (1) và (2) suy ra HNB HBN A B M H hay NHB cân tại H. 2
3. 5 3,00 đ a) Chứng minh B H A I 1,50 đ Gọi M là giao điểm của EI và AC, ta có M là trực tâm của tam giác ECD 0,50 đ D M C E DM // BC. Tam giác ABC có DA = DB, DM // BC MA MC . Tam giác AHC có MA = MC, MI // AH I H I C . 0,50 đ Gọi N là trung điểm của AH ta có IN // AC I N A D . Tam giác ADI có AHDIINAD, do đó N là trực tâm D N A I 0,50 đ mà DN // BH B H A I . b) Chứng minh tứ giác BCEK nội tiếp 1,50 đ Từ B H A I AI // KB I A D K B D . Xét KBD và IAD có: 0,50 đ IADKBDDADBADIBDK ,, KBD IAD DK DI (1). DADC Vì DACDIE g gDA( . DEDI ) DC (2). 0,50 đ DIDE Từ (1) và (2) kết hợp với DA = DB suy ra DB.DE = DK.DC DK DB 0,50 đ DEK DCB DEK DCB dẫn đến BCEK nội tiếp . DE DC Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: xy 1,01 . Chứng minh rằng: 6 11 xy 3,00 đ  xyxyyx 1122 1 x 1 y Với giả thiết đã cho, ta sẽ chứng minh 2 (1) và 2 (2). 0,50 đ y 1 x y xyx 1 Ta có: ( 1 ) xyxxyy xxx2 0(1)(1)0 0,50 đ (1)()0xyx (3). (3) đúng vì xy 1,01 . 0,50 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 1,01 . Ta cũng có: (2)0() xy () y 0 y2 xy x yx y 0,50 đ ()(1)0xyy (4). (4) đúng vì xy 1,0 1. 0,50 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 1. Cộng theo vế (1) và (2) ta được 0,50 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 1. 4