Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Bình Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên Toán) - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Bình Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VẢO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NÃM HỌC 2022-2023 Để chính thức Môn thỉ chuyên: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 11/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thởi gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm) 1. Cho biểu thức: Px 2022  xx5 2020  xx 2 2017 . Tính giá trị của P khi x 32 5 3 2 5 . 2. Cho phương trình x3 bx 2 cx 1 0 trong đó b, c là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm x0 2 5 . Tìm b, c và các nghiệm còn lại của phương trình. Bài 2: (2,5 điểm) xxy( ) y2 4 y 1 0 1. Giải hệ phương trình: 2 2 yxy( ) 2 x 7 y 2 0 2. Cho abc,, là các số nguyên. Đặt Sa ( 2021)5 (2 b 2022) 5 (3 c 2023) 3; Pabc 2 3 2022 Chứng minh rằng S chia hết cho 30 khi và chi khi P chia hết cho 30 . Bài 3: ( 1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu đa thức P( x ) có bậc không lởn hơn 2 với các hệ số nguyên không âm và thỏa mãn điều kiện P(3) 100 . Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung diểm BC . a) Chứng minh tứ giác DMEF là tứ giác nội tiếp. b) Đường tròn tâm I đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thử hai là P . Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) . Chứng minh bốn điểm P,H,M,K thẳng hàng. c) Các tiếp tuyến tại A và P của đường tròn (I) cằt nhau ở N . Chứng minh ba đường thẳng MN,EF,AH đồng quy. Bài 5: (1,0 điểm) x y 2 Cho 2 số x, y thỏa mãn: 2 2 x y xy 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biều thức: T x2 y 2 xy HẾT
2. xxy( ) y2 4 y 1 0 1. Giải hệ phương trinh 2 2 . yxy( ) 2 x 7 y 2 0 2. Cho abc,, là các số nguyên. Đặt Sa ( 2021)5 (2 b 2022) 5 (3 c 2023) 5 ; Pa 2 b 3 c 2022 . Chứng minh rằng S chia hết cho 30 khi và chi khi P chia hết cho 30 . Lời giải. xxy( ) y2 4 y 1 0 1 1. Xét hệ phương trình: 2 2 yxy( ) 2 x 7 y 2 0 2 Nhân hai vố phương trình (1) với 2 , ta được 2x2 2 xy 2 y 2 8 y 2 0 3 Cộng theo vế phương trình (2) và (3) ta được yxy( )2 2 xy 2 y 2 15 y 0 2 yxy ( ) 2( xy ) 15 0 yxy( 3)( xy 5) 0 y 0 x 3 y x 5 y - Nếu y 0 thay vào phương trình (1) ta được x2 1 0, không có nghiệm thực. - Nếu x 3 y , thay vào phương trình (1) ta được (3 y )  3 y2 4 y 1 0 2 y 2 yy7 10 0 ( yy 2)( 5) 0 y 5 Với y 2 thì x 1; với y 5 thì x 2. - Nếu x 5 y , thay vào phương trình (1) ta được ( 5y )  ( 5) yy2 4 1 0 2 2 2 1 103 y y 26 0, không có nghiệm thực vì yy 26 y 0. 2 4 Vậy hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm là (x ; y ) (1;2) và (x ; y ) ( 2;5) . 2. Đặt xa 2021; yb 2 2022; zc 3 2023 thì Sx 5 y 5 z 5 và P xyz . Ta có SPxx 5 yy 5 zz 5 . Xét Axxxx 5( 1)( x 1) x 2 1 . Ta thấy (x 1) xx ( 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có tích chia hết cho 6 , do vậy A chia hết cho 6. Theo định lý Fermat, ta cũng có x5 x( mod 5) nên A chia hết cho 5. Mà ƯCLN (5,6) 1 nên Ax 5 x chia hết cho 30 .
3. Lời giải. a) Ta thấy các tứ giác BCEF, ACDF nội tiếp đường tròn đường kinhh BC, AC. Khi đó MEF 1800 AEF MEC 180 0 ABC MCE 1800 FBD BFD BDF . Do vậy tứ giác DMEF nội tiếp. b) Theo giả thiết KB AB và HC AB nên KB// HC . Tương tư KC AC và HB AC nên KC// HB . Tứ giác KBHC có hai cặp cạnh đối diện song song nhau nên là hình bình hành. Lại vì M là trung điểm của BC nên H, M, K thẳng hàng. Mặt khác, APH AFH 90 APK nên P, H, K thẳng hàng. Như vậy H, M, K, P thẳng hàng. c) Gọi R là giao điểm của AD và EF. Vì các tứ giác AFDC, AEDB nội tiếp nên EDF 1800 FDB EDC 180 0 2 BAC 180 0 FIE . Do vậy IEDF là tứ giác nội tiếp, suy ra RERF RIRD . Mặt khác tứ giác AEHF nội tiếp nên RE RF RH  RA. Vậy nên RA RD RI RD RH  RA RI RH IA HD IA RI RA 1 RI RH HD RH RD Từ chứng minh ở câu b) ta có HM AP , lại vì NI AP (do NI là đường trung trực của đoạn AP) nên HM // NI, kết hợp NA// DM suy ra DMH INA (hai góc nhọn có