Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT Nghệ An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT Nghệ An (Có đáp án)

1. 2 √ √ −(−9) + 1 5 −(−9) − 1 x = = .; x = = 2. 1 2 · 2 2 2 2 · 2 5 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ; x = 2. 1 2 2 b) Ta có ∆ = 32 − 4 · 1 · (−1) = 13 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.  x1 + x2 = −3 Theo định lý Viét, ta có x1x2 = −1. 2 2 2 2 2 Có (|x1 − x2|) = x1 − 2x1x2 + x2 = (x1 + x2) − 4x1x2 = (−3) − 4(−1) = 13. √ Suy ra |x1 − x2| = 13. 2 2 Và x1x2 + √x1x2 = x1x2(x1 + x2) = (−1) · (−3) = 3 3 13 √ Vậy T = = 13. 3 ™ Bài 2: Trong kỳ SEA Games 31 tổ chức tại Việt Nam, thú sao la được chọn làm linh vật. Một phân xưởng được giao sản xuất 420 thú nhồi bông sao la trong một thời gian dự định để làm quà tặng. Biết rằng nếu mỗi giờ phân xưởng sản xuất thêm 5 thú nhồi bông sao la thì sẽ rút ngắn thời gian hoàn thành công việc là 2 giờ. Tính thời gian dự định của phân xưởng. Hướng dẫn giải Gọi thời gian dự định sản xuất sao la nhồi bông của phân xưởng là x (giờ, x > 0). 420 Khi đó năng suất dự định của phân xưởng là (sản phẩm/ giờ). x Thời gian thực tế của phân xưởng là x − 2 (giờ). 420 Năng suất thực tế của phân xưởng là (sản phẩm / giờ). x − 2 Do thực tế mỗi giờ phân xưởng sản xuất thêm 5 thú nhồi bông nên ta có phương trình 420 420 − = 5 x − 2 x 420x 420(x − 2) 5x(x − 2) ⇔ − = x(x − 2) x(x − 2) x(x − 2) ⇒ 420x − 420x + 840 = 5x2 − 10x ⇔ 5x2 − 10x − 840 = 0 ⇔ x2 − 2x − 168 = 0. Ta có ∆′ = (−1)2 − 1 · (−168) = 169 > 0. Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt. x1 = 14 (thoả mãn); x2 = −12 (loại). Vậy thời gian dự định của phân xưởng là 14 giờ.
2. 4 ◦ Vì CAB[ chung, AKC\ = ACB[ = 90 . nên ∆ACK ∽ ∆ABC(g.g). Do đó ta được AB AC = . (2) BC CK Từ (1) và (2) ta được tỷ lệ thức AD AB AC AC CK = = ⇔ = (3) DC BC CK AD CD Vì CDKI là tứ giác nội tiếp nên ADK\ = AIC[, CAI[ chung nên ∆ADK ∽ ∆AIC(g.g). Do đó ta được AD · AC = AK · AI. (4) Vì DI, CB cùng vuông góc với AC nên DI ∥ CB. Theo định lý Thales ta được AB AC = . (5) AI AD ◦ Vì DCH\ chung, CDH\ = CKA\ = 90 nên ∆CDH ∽ ∆CKA(g.g). Do đó ta được AK CK = . (6) DH CD Từ (3), (5) và (6) ta được AK AB = ⇔ AK · AI = DH · AB DH AI Kết hợp với (4) ta được AD · AC = AK · AI = DH · AB. Vậy bài toán được chứng minh. c) Ta có IDB[ = CBD\ = IBD[(so le trong vì DI ∥ CB và BD là phân giác CBA[ ). Do đó ∆IBD cân tại I suy ra ID = IB hay B thuộc (I,ID). Vì ID ⊥ AC nên AC là tiếp tuyến của (I,ID). Gọi F ′ là giao của BN với AC, L là giao của (I,ID) với AB. Vì F ′D là tiếp tuyến của (I,ID) (do AC là tiếp tuyến) nên F ′D2 = F ′N · F ′B. (*) Vì tứ giác LNMB nội tiếp (I,ID) nên NLB\ = CMA\ mà theo giả thiết ta có ◦ MCA\ = BNL\ = 90 (vì BL là đường kính) nên ∆MCA ∽ ∆LNB(g.g) suy ra F\′BA = NBL\ = MAC\ = F\′AN ′ ′ Kết hợp với góc AF\′B chung ta được ∆AF N ∽ ∆BF A(g.g) do đó ta được tỷ lệ thức F ′N F ′A = ⇔ F ′A2 = F ′N · F ′B. ( ) F ′A F ′B Từ (∗) và (∗∗) ta suy ra F ′D = F ′A hay F ′ là trung điểm AD nên F ′ trùng F . Vậy B, N, F thẳng hàng.