Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi có: 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho phương trình x2 8x 4 8m 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 x1 x2. b) Gọi a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca và a b c 3. Tính giá trị biểu thức A a2 1 3bc. Câu 2 (2,0 điểm). a) Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P x x3 ax2 bx c. Biết P 2 29, P 1 5 và P 3 1. b) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 2 17x2 6 x2 4x 3 2x 5 2x 3x2 22 . b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Câu 4 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau tại hai điểm A và B ( R R và O, O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB ). Đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại C và M , đường thẳng AO cắt O và O lần lượt tại N và D (C, D, M , N khác A ). Gọi K là trung điểm của CD; H là giao điểm của CN và DM. a) Chứng minh rằng năm điểm M , N, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. c) Chứng minh rằng I·BP 90. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 y4 z4 P . x y 4 y z 4 z x 4 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. b) Gọi a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca và a b c 3. Tính 1,0 giá trị biểu thức A a2 1 3bc. Ta có a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0,25 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c. 0,25 Mà a b c 3 a b c 3. 0,25 Suy ra A a2 1 3bc 11. 0,25 Câu 2 (2,0 điểm). c) Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P x x3 ax2 bx c. Biết P 2 29, P 1 5 và P 3 1. d) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Nội dung Điểm a) Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P x x3 ax2 bx c biết P 2 29, P 1 5, P 3 1. 1,0 Vì P 2 29 nên ta có 8 4a 2b c 29 4a 2b c 21. Vì P 1 5 nên ta có 1 a b c 5 a b c 6. 0,5 Vì P 3 1 nên ta có 27 9a 3b c 1 9a 3b c 26. 4a 2b c 21 a 3 Ta có hệ phương trình a b c 6 b 2 . 0,25 9a 3b c 26 c 5 Vậy a 3; b 2; c 5. 0,25 b) Cho n là số nguyên dương sao cho 4n 13 và 5n 16 là các số chính phương. Chứng 1,0 minh rằng 2023n 45 chia hết cho 24. Giả sử 4n 13 a2 và 5n 16 b2 a, b ¥ * . Từ 4n 13 a2 a là số lẻ. 0,25 Ta có 4n 13 a2 4 n 3 a2 1 4 n 3 a 1 a 1 . Vì a là số lẻ nên a 1 và a 1 là hai số chẵn liên tiếp, do đó a 1 a 1 8 n 3 2 n là số lẻ.
3. 2x 5 3 2x 5 2x 5 + Khi x 1 2 x 1, 3 2 2 6 0 . x 1 x 1 2x 5 2 x 1 0,25 2x 5 3 x 1 13 2 67 • 2 x . x 1 2 9x 26x 11 0 9 2x 5 x 1 5 29 • 2 2 x . x 1 4x 10x 1 0 4 0,25 13 2 67 5 29  Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 3; ; . 9 4  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 146;2022 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox. Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH. (Điểm nguyên là 1,0 điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên H 146;0 . Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy, suy ra B 0;2022 . Gọi C là trung điểm của đoạn OA, suy ra C 73;2011 . 0,25 Điểm M x0; y0 x0; y0 ¢ là điểm nguyên nằm trong OAH khi và chỉ khi điểm M x0 ; y0 x0 ; y0 ¢ đối xứng với điểm M qua C nằm trong OAB. Suy ra số điểm nguyên nằm trong OAH bằng số điểm nguyên nằm trong OAB. 1 Do đó số điểm nguyên nằm trong tam giác OAH bằng (số điểm nguyên nằm trong hình chữ 0,25 2 nhật ABOH trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng OA). Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật ABOH bằng 145.2021 293045. 1011 Phương trình đường thẳng OA là y x. Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn 0,25 73 thẳng OA (trừ điểm O và A ) bằng 1.
4. Ta có tứ giác ABCN nội tiếp A· CN A· BN (góc nội tiếp cùng chắn cung »AN ). ¼ Tứ giác ABDM nội tiếp A· DM A· BM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM ). 0,25 Kết hợp với 1 suy ra A· BN A· BM A· CN M· KN M· BN 2A· CN 2 . Ta có ·MON 2·ACN ·MBN 3 . 0,25 Từ 2 và 3 suy ra 5 điểm M , N, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E là điểm đối xứng của C qua B; P là giao điểm của AE và HD; F là giao điểm của BH với I ( F khác H ); Q là giao 1,0 điểm của CF với BP. Chứng minh rằng BP BQ. Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE  AF tại trung điểm B của CE 1 . 0,25 Ta có D· CM B· HD (cùng phụ với C· DH ). Mà B· HD D· CF (góc nội tiếp cùng chắn D»F ) D· CM D· CF (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra ACFE là hình thoi. Xét hai BPE và BQC có ·BEP ·BCQ (so le trong), BE BC, ·EBP ·CBQ (đối đỉnh). 0,5 Suy ra BPE BQC (g-c-g) BP BQ (đpcm). c) Chứng minh rằng I·BP 90. 1,0 Gọi S, T là giao điểm của BQ và I (như hình vẽ). 0,25 Xét tứ giác ADEH có A· ED A· HD (cùng bằng A· CE ), suy ra tứ giác ADEH nội tiếp
5. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 y4 z4 P . x y 4 y z 4 z x 4 Nội dung Điểm 1 1 1 Ta có P 4 4 4 . y z x 1 1 1 x y z y z x Đặt a ,b ,c a,b,c 0 và abc 1. x y z 1 1 1 P . a 1 4 b 1 4 c 1 4 1 1 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 . . a 1 4 16 16 a 1 4 2 a 1 2 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự có , . b 1 4 16 2 b 1 2 c 1 4 16 2 c 1 2 3 1 1 1 1 P . 2 2 2 16 2 a 1 b 1 c 1 1 1 1 Ta chứng minh với a, b 0. a 1 2 b 1 2 1 ab 1 1 1 Thật vậy: 0,25 a 1 2 b 1 2 1 ab 2 2 2 2 a 1 b 1 1 ab a 1 . b 1