Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 Trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 Trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm học 2022-2023 môn Toán - SGD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI CHÍNH TH Ứ C Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1. (2,0 điểm) 1 1 1 2 2 2 a) Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn + + = 2 và ab+ bc + ca = a b c . ab bc ca 1 1 1 Tính giá trị biểu thức A.= + + a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b) Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+ b + ab = 1. a b 1+ ab Chứng minh rằng 22+= . 1++ a 1 b 2( 1++ a22)( 1 b ) Câu 2. (2,5 điểm) 7 a) Giải phương trình 2( 3x+ 1) + = 5 2x + 7 . x x+ 1( 1 − 3y) − y + 3 = 0 b) Giải hệ phương trình y y− x + 1 + x = 0. ( ) Câu 3. (1,5 điểm) 2 a) Tìm số nguyên n để A=( n2 + 3n + 2) +( n + 2)2 là số chính phương. b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn a− b + b − c + c − d + d − a = a2022 + 2023 . Tìm số dư khi chia a12 cho 16. Câu 4. (2,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O',) trong đó E và F thuộc đường tròn F nằm trong đường tròn (O.) Hai đường thẳng AE và AF cắt đường tròn lần lượt tại P và Q ( P, Q khác A). Tia EF cắt PQ tại K. a) Chứng minh tam giác BKP đồng dạng với tam giác BFA . b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của AB với OO' và EF. Chứng minh IJE= IFM. c) Chứng minh PQ=− 2 OA22 OK . Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+ b + c = 3abc . 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.= + + 1+ a + 2bc 1 + b + 2ac 1 + c + 2ab Câu 6. (0,5 điểm) Lớp 9A có 34 học sinh, các học sinh lớp này đều tham gia một số câu lạc bộ của trường. Mỗi học sinh của lớp tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì của lớp này thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh lớp 9A tham gia. HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. t− y =0 y = t (t− y ) − 3 ty + 3 = 0 3(t− y )2 + ( t − y ) = 0 2 suy ra 11 0,25 (t− y ) + ty − 1 = 0 t− y = − y = t + . 33 2 Với yt= , ta có 3tt− 3 = 0 = 1, do đó ta có xy==0; 1 (thỏa mãn). 0,25 1 −+1 33 1++ 33 1 33 Với yt=+ , ta có 9t2 + 3 t − 8 = 0 t = xy= −; = (thỏa mãn). 3 6 18 6 0,5 1++ 33 1 33 Vậy nghiệm (x; y) của hệ là (0; 1), − ; . 18 6 Câu 3a Ta có A=( n +2)22( n + 1) + 1 1,0 đ ( ) 0,5 Xét nn+2 = 0 = − 2, ta có A = 0 là số chính phương. Xét nn+2 0 − 2, để A là số chính phương khi (n+1)2 + 1 = a2 ( a ) . Do đó, ta có (n+1)2 − a2 =− 1( n +− 1 a)( n ++ 1 a) =− 1 na+11 − = − na+11 − = 0,5 xảy ra 2 TH sau: hoặc suy ra n =−1 (thỏa mãn). na+11 + = na+11 + = − Vậy n =−2 hoặc n =−1 thì A là số chính phương. Câu 3b Ta có x+= x2 x nếu x 0 , xx+=0 nếu x 0 , do đó xx+ 2 với mọi số nguyên x 0,5 đ Ta có a− b + b − c + c − d + d − a 0,25 =( abab −+−+−+−+−+−+) ( bcbc) ( cdcd) ( dada −+− ) chia hết cho 2 với mọi số nguyên a,,, b c d . Do đó a− b + b − c + c − d + d − a = a2022 + 2023 chia hết cho 2, suy ra a 2022 lẻ, do đó a lẻ, nên a 2 chia 8 dư 1, 6 6 0,25 suy ra a −1 chia hết cho 8 và a +1chia hết cho 2. Vậy a12=( a 6 −1)( a 6 + 1) + 1 chia cho 16 dư 1. Câu 4a M a) Ta có BPQ= BAQ (góc nội tiếp cùng 1,0 đ chắn BQ ), BAQ= BEK (góc nội tiếp cùng chắn BF ), 0,5 P A E suy ra BPQ= BEK , suy ra tứ giác BKPE nội tiếp. J F Do AEBF và BKPE là các tứ giác nội tiếp O' I O nên AFB= BKP (cùng bù với góc AEB ), K 0,5 suy ra BKP∽ BFA (đpcm). B Q Câu 4b b) Do O''' IM= O FM== O EM 90O nên các điểm OIFME', , , , cùng nằm trên đường 0,75 đ 0,5 tròn đường kính OM' . Suy ra IEJ= IMF (góc nội tiếp cùng chắn IF ) và EIJ= JIF (góc nội tiếp cùng chắn hai cung ME và MF bằng nhau) 0,25 suy ra IJE∽ IFM , do đó IJE= IFM (đpcm).