Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Dành cho thí sinh chuyên Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Hùng Vương môn Toán - Dành cho thí sinh chuyên Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,0 điểm). a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x22−2( m − 1) xm + − 2 m −= 80 có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa mãn xx12+=6. 11 b) Cho fx( ) =++1 2 với xx≠0, ≠− 1. Tính ff(1) +( 2) + f( 3) ++ f( 2023) . x2 ( x +1) Câu 2 (2,0 điểm). a) Cho các số nguyên abcd,,, thỏa mãn điều kiện ab33+−8 c 3 + 28 d 3 = 0. 2 Chứng minh rằng (abcd+++) chia hết cho 9. b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức Px( ) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện Px( 2 − 2) chia hết cho Px( ). Câu 3 (2,0 điểm).  +22 −+ =−+ + 2( x xx 11) y y 3 a) Giải hệ phương trình  ( xy ,.∈ )  22− −= + + y2( x 23) ( y 1)( yx 2) b) Bạn An viết lên trên bảng 11 số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng 30. Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng 10. Câu 4 (3,0 điểm). Trên đường tròn tâm O đường kính AB= 2 R lấy điểm N sao cho AN= R và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BN ( M khác B và N ). Gọi I là giao điểm của AM và BN, H là hình chiếu của I trên AB, IH cắt AN tại C, K là điểm đối xứng với N qua AB. a) Chứng minh CM CB= CI CH và ba điểm KHM,, thẳng hàng. b) Gọi P là giao điểm thứ hai của NH và (O). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK thuộc đường thẳng cố định khi M thay đổi. c) Xác định vị trí của điểm M để tổng MB+ MN đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (1,0 điểm). Xét các số thực dương abc,,; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức abc F =++. a222+++999 bc b ac c ab Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. 1 1 1 1 22 11 ⇔++ =++ +− − − 112222 2 (luôn đúng) x ( xx++11) x( ) xx++11 xx Áp dụng ta được: 11 11 11 1 1 0,25 ff(1) =+− 1 ;( 2) =+ 1 − ; f( 3) =+− 1 ; ; f( 2023) =+ 1 − ; 1 2 2 3 3 4 2023 2024 1 20242 − 1 Vậy ff(1) +( 2) + f( 3) ++ f( 2023) = 2024 − = . 0,25 2024 2024 Câu 2 (2,0 điểm). a) Cho các số nguyên abcd,,, thỏa mãn điều kiện ab33+−8 c 3 + 28 d 3 = 0. 2 Chứng minh rằng (abcd+++) chia hết cho 9. Đáp án Điểm Từ giả thiết ab33+−8 c 3 + 28 d 3 = 0 ⇔abcd333 +++ 3 −9 c 3 + 27 d 3 = 0 ⇔abcd333 +++ 3 =9 c 3 − 27 d 3 . 0,25 Vì 9cd33− 27 chia hết cho 3 nên abcd333+++ 3 chia hết cho 3. Mà (a333+ b + c + d 3) −( abcd +++) =( a3 − a) +( b 3 − b) +( c 3 − c) +( d 3 − d) 0,25 =(aaabbbcccddd −1) ( ++ 1) ( − 11) ( ++) ( − 11) ( ++) ( − 1) ( + 1) chia hết cho 3. Suy ra abcd+++ chia hết cho 3. 0,25 2 Mà 3 là số nguyên tố, do đó (abcd+++) chia hết cho 9. 0,25 b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức Px( ) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện Px( 2 − 2) chia hết cho Px( ). Đáp án Điểm 2024 Xét đa thức Px( ) =( x +1.) 0,5 2024 2024 Khi đó, ta có : Px( 22−2) =( x −+ 21) =( x 2 − 1) . 0,25 2024 2024 2024 2024 Px( 22−=21) ( x −) =−( x 11) ( x +) chia hết cho Px( ) =( x +1.) 0,25 (Lưu ý: Học sinh có thể chọn các đa thức khác thỏa mãn vẫn cho điểm tối đa). Câu 3 (2,0 điểm).  +22 −+ =−+ + 2( x xx 11) y y 3 a) Giải hệ phương trình:  ( xy ,∈ ) .  22+ −= + + y2( x 23) ( y 1)( yx 2) Nội dung Điểm Điều kiện: ( y+1)( yx2 +≥ 2) 0. 22 Ta có (1) ⇔ 21x −+( 21 x −) + 3 =−( yy) +( −) +3. Đặt ax=−=−2 1; by ta có a+ a2 +=+3 b b 2 +⇔−+ 3 ab( a22 +−3 b + 30) = 0,25 22 a−+ b ab ⇔ab −+ =⇔01(ab −)  + = 0 ab22++33 + ab22++33 + Trang 2/6
3. Câu 4 (3,0 điểm). Trên đường tròn tâm O đường kính AB= 2 R lấy điểm N sao cho AN= R và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BN ( M khác B và N ). Gọi I là giao điểm của AM và BN, H là hình chiếu của I trên AB, IH cắt AN tại C, K là điểm đối xứng với N qua AB. a) Chứng minh CM CB= CI CH và ba điểm KHM,, thẳng hàng. b) Gọi P là giao điểm thứ hai của NH và (O). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK thuộc đường thẳng cố định khi M thay đổi. c) Xác định vị trí của điểm M để tổng MB+ MN đạt giá trị lớn nhất. Vẽ hình: a) Chứng minh rằng CM CB= CI CH và ba điểm KHM,, thẳng hàng. Đáp án Điểm Tam giác ABC nhận I làm trực tâm do có hai đường cao BN, CH cắt nhau tại I nên BC⊥ AI (1.) Mặt khác AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên BM⊥ AI (2.) 0,25 Từ (1) và (2), suy ra ba điểm BMC,, thẳng hàng. Hai tam giác vuông BHC, IMC có C chung nên đồng dạng. CI CM 0,25 Suy ra =⇔=CM. CB CI CH CB CH Tứ giác ACMH nội tiếp nên BHM = ACM , BCNH nội tiếp nên AHN= ACM. 0,25 Suy ra AHN= BHM . Mà do tính đối xứng nên AHN= AHK . Vậy AHK= BHM . Vậy KHM,, thẳng hàng. 0,25 (Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa). Trang 4/6
4. Mặt khác: a a222+++++=999 bc b b ac c c ab a a 3 ++ 9 abc b b 3 ++ 9 abc c c 3 + 9 abc ≤(a ++ b c) a333 + b + c +27 abc . ( ) 0,25 23 (abc++) (abc++) ≥= Do đó : F 333 (a++ b c)( a333 + b + c +27 abc) a+++ b c27 abc 3 Xét bất đẳng thức: 10(a++ b c) ≥9( a333 + b + c +27 abc) ⇔a333 +++ b c30( a + b)( b + c)( c +≥ a) 243 abc luôn đúng theo bất đẳng thức AM - 0,25 GM. 10 3 Do đó (a333+ b + c +27 abc) ≤( a ++ b c) . 9 3 (abc++) 9 33 Suy ra: ≥ ⇒F ≥,. F = ⇔== abc 0,25 a333+++ b c27 abc 10 10 10 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của F là . 10 Hết Trang 6/6
5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHÚ THỌ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Hướng dẫn chấm có 06 trang I. Một số chú ý khi chấm bài - Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – Thang điểm Câu 1 (2,0 điểm). a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x22−21( m −) xm + −= m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 xx12+=− xx 12. Đáp án Điểm Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 ⇔∆′ =1 −mm > 0 ⇔ < 1. 0,25 22 2 Xét 2 xx12+=− xx 12 ⇔+=−4( xx12) ( xx 12) ⇔++3( x1 x 2) 4 xx 12 = 0. 0,25 xx12+=21( m −) Áp dụng định lý Vi–ét, ta có:  =2 − xx12 m m 0,25 2 Ta được 12(m−+ 1) 4( mm2 −=) 0 ⇔4mm2 − 7 += 3 0. m =1  3 ⇔ 3 . Kết hợp với điều kiện, giá trị m = thỏa mãn. 0,25 m = 4  4 12 3 xy22 b) Cho xy, là các số thực thỏa mãn −= . Tính giá trị của biểu thức P = + . yx2 xy+ yx22 Đáp án Điểm 12 3 22 Ta có: −= ⇔( x −2 y)( 2 x + y) = 3 xy ⇔ 2 x − 6 xy − 2 y = 0. 0,25 yx2 xy+ x 3+ 13 x 3− 13 ⇔= hoặc = . 0,25 y 2 y 2 2 xy3+ 13 2−+ 3 13 x22 y xy 0,25 Với = ⇒= = . Ta được P = + = + −=2 11. yx223+ 13 y22 x yx 2 xy3− 13 2−− 3 13 x22 y xy 0,25 Với = ⇒= = . Ta được P = + = + −=2 11. yx223− 13 y22 x yx Trang 1/6
6. Câu 3 (2,0 điểm). 2xy− 3 =−+ 16 3 xy 9 a) Giải hệ phương trình  ( xy ,∈ ) . 2xyy−+ 3 += 35 + 1 Đáp án Điểm Điều kiện: xy−3 ≥ 0; x ≥ 3; y ≥− 3. Ta có: 0,25 (1)⇔ 3(xy − 3 ) + 2 xy −−=⇔−− 3 16 0 xy 3 2 3 xy −+=⇔−= 3 8 0 xy 3 2 ( )( ) ⇔=+xy4 3. Thế xy=34 + vào phương trình (2) ta được 231yyy++ + 3512312 = +⇔( y +−) +( y +− 32516) = y +− 0,25 31( y − ) y −1 61 ⇔ +−−=⇔−+−= 2 5( yy 1) 0( 1)5 0 ( *) 3yy++ 12 ++ 32 3yy++ 12 ++ 32 61 1 Nhận thấy + −<+53 −< 50 với mọi y ≥−3. 3yy++ 12 ++ 32 2 0,25 Do đó (*) có nghiệm duy nhất y =1(thỏa mãn). Với y =1 ta được x = 7 (thỏa mãn). 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( xy;) = ( 7;1) . 11 1 1 b) Viết lên trên bảng 2023 số: 1; ; ; ; ; . Mỗi bước ta xoá đi 2 số xy, bất kì trên 2 3 2022 2023 xy bảng rồi viết lên bảng số (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Thực hiện liên tục thao tác trên xy++1 cho đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu? Đáp án Điểm xy 111 1 1 1 1 Đặt z = ⇒ = + + ⇒ +=1 + 1 + 1 ( 1) . x++ y1 z x y xy z x y 0,25 Với mỗi tập các số dương {xx12; ; xn}tùy ý, xét biểu thức: 11    1 Pxx( 12; ; xn ) =++ 1  1   + 1 . 0,25 xx12    xn xy Từ (1) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì xy, rồi viết lên bảng số các số còn lại trên xy++1 bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức P của các số trên bảng không đổi. 0,25 Trang 3/6
7. b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt (O) tại Q . Chứng minh Q đối xứng với P qua OA. Đáp án Điểm b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) . Ta có xAC = ABC 0,25 ABC= AEF (vì tứ giác BCEF nội tiếp) 0,25 ⇒=xAC AEF ⇒ Ax, EF song song. Mà OA⊥ Ax ⇒⊥OA EF 0,25 Theo giả thiết PQ, EF song song với nhau nên PQ⊥ OA. Do đó theo định lý đường kính, 0,25 dây cung ta được Q đối xứng với P qua OA . (Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý do để các góc bằng nhau vẫn cho điểm tối đa). c) Gọi K là trung điểm của EF . Chứng minh đường thẳng AK và các tiếp tuyến của (O) tại BC, đồng quy. Đáp án Điểm Tiếp tuyến tại BC, cắt nhau ở T . Gọi I= AT ∩( O) . Lấy J là trung điểm của BC ⇒ OJT,, thẳng hàng. 0,25 Có TI TA= TB2 = TJ TO ⇒ tứ giác AOJI nội tiếp. ⇒=IJT OAI == OIA OJA ⇒ AJB = BJI ⇒ JB là phân giác của góc AJI 0,25 11 Xét AJC=180 °− AJB = 180 °− AJI = 180 °− AOI = 180 °− ACI = ABI 22 Xét ∆AJC và ∆ABI có: AJC= ABI ; ACJ= AIB. 0,25 ⇒=JAC BAI ( 1) Mặt khác ∆AEF và ∆ABC đồng dạng có hai đường trung tuyến tương ứng là AK, AJ ⇒=KAF JAC ( 2) 0,25 Từ (1), (2) ⇒BAI = FAK ⇒∈ I AK ⇒ AI,, K thẳng hàng. Vậy đường thẳng AK và hai Trang 5/6