Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 Trường THPT chuyên KHTN năm 2022 môn Toán (Vòng II) - Trường Đại học khoa học tự nhiên ĐHQG Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 Trường THPT chuyên KHTN năm 2022 môn Toán (Vòng II) - Trường Đại học khoa học tự nhiên ĐHQG Hà Nội (Có đáp án)

1. Giải chi tiết đề thi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim Ta viết lại thành hệ mới   3x 2y 1 0(1)  + + ≥ 4¡2x2 3xy y2¢ 24 0(2)  + + − =  (3x 2y 1)2 4(2x y 6) 0(3) + + − + + = Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (2), vế với vế, ta thu được (x 1)2 0 x 1. − = ⇒ = Mặt khác do  2 2 2 y 1 2x 3xy y 6 y 3y 4 0  = + + = ⇒ + − = ⇒ y 4 = − • Nếu x 1, y 1, đối chiếu điều kiện 2x y 6 0,3x 2y 1 0 ta thấy = = + + ≥ + + ≥ đều thỏa. • Nếu x 1, y 4 ta có 2x y 6 4 0,3x 2y 1 4 0, không thỏa = = − + + = > + + = − < mãn điều kiện (1). Vậy chỉ có một cặp giá trị (x, y) (1,1) là thỏa mãn. = 2 Câu II 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn đẳng thức (x y)(5x y)3 xy3 (5x y)3 x2 y3 xy4. + + + = + + + 2) Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau   c b a 3, b2 2a 10, b2 2a 2c 14 ≤ < ≤ + ≤ + + ≤ ¡ 2 ¢¡ 2 ¢ 3 3  a 1 b 1 4ab 2a 2b 2a 2b. + + + ≤ + + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4a2 b4 2b2 4c2. = + + + Lời giải 2 06/6/2022
2. Giải chi tiết đề thi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim 2) Chứng minh rằng: AP 2OK. = 3) Đường thẳng qua P vuông góc AP cắt (O) tại Q,R. Chứng minh rằng: (A; AP) tiếp xúc (KQR). Lời giải(Nguyễn Duy Khương). 1) Do tứ giác BFEC nội tiếp dẫn đến: AEF ABC để ý rằng: OAC ∠ = ∠ ∠ = 90◦ B dẫn đến: OA EF. Ta có: OAC 90◦ AEF P AF(do AP − ∠ ⊥ ∠ = − ∠ = ∠ là đường kính của (AEF)). Do đó dẫn đến: P AB B 90◦ suy ra: ∠ + ∠ = AP BC. ⊥ 2) Gọi (AEF) cắt (O) tại điểm thứ hai là J. Gọi S,T lần lượt là trung điểm của EC và FB ta có: JFB 180◦ JFA 180◦ JEA JEC đồng ∠ = − ∠ = − ∠ = ∠ thời JBF JCE do đó: tam giác JFB đồng dạng tam giác JEC dẫn ∠ = ∠ đến: tam giác JTF đồng dạng tam giác JES theo trường hợp cạnh góc cạnh dẫn đến: JTA JSA do đó: J,T,S, A,K cùng thuộc 1 đường tròn. ∠ = 4 06/6/2022
3. Giải chi tiết đề thi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim • Nếu d10 3 di 9 d17 di 16 d1 9 d10 3. = = + ⇒ = + = + = = d26 d17 3, d26 d1 1 d26 2. ̸= = ̸= = ⇒ = d11 d10 3, d11 d2 2 d11 1. ̸= = ̸= = ⇒ = d27 d26 2, d27 d11 1 d27 3 d20 3. ̸= = ̸= = ⇒ = ⇒ = d26 2 d19 2, d20 3 d13 3. = ⇒ = = ⇒ = Suy ra d13 d17 (mâu thuẫn) = • Nếu d10 2 d24 d17 d10 2 = ⇒ = = = d26 d17 2, d26 d1 1 d26 3 d19 d12. ̸= = ̸= = ⇒ = = = Suy ra d11 1 do d11 d12 3, d11 d10 2. d25 d18 d11 1. = ̸= = ̸= = ⇒ = = = d3 d12, d3 d2 nên d3 1 d28 d3 1, d28 d29 2 nên d28 3. ̸= ̸= = ⇒ ̸= = ̸= = = d28 d29 d17 d10 3 nhưng do d10 2, ta có điều mâu thuẫn. ⇒ = = = = = Vậy tồn tại i, j sao cho i j là số chính phương và di d j. | − | = 6 06/6/2022