Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Nam Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2021-2022. Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm bài:150 phút. (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). a) Cho abc, , ∈ thỏa mãn abc++=0 và abc222++=1. Tính giá trị của biểu thức S=++ ab22 bc 22 ca 2 2. b) Cho đa thức bậc hai Px( ) thỏa mãn P(11) = , P(33) = , P(7) = 31. Tính giá trị của P(10). Câu 2 (2,0 điểm). 2 2 2 xx7 a) Giải phương trình x + +=4 ⋅ xx++11 x(2 x + 1) = yx( +− y 21) + b) Giải hệ phương trình  4xy++ 3 2 += 2 11 − x . Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB GC ; một đường tròn có tâm là K đi qua A, G và cắt đoạn thẳng AD tại điểm P nằm bên trong tam giác ABC . Đường thẳng GK cắt đường tròn (O) tại điểm M ( MG≠ ). a) Chứng minh các tam giác KPG , ODG đồng dạng với nhau. b) Chứng minh GP, MD là hai đường thẳng vuông góc. c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng OD và KP , đường thẳng qua A và song song với BC cắt đường tròn (K ) tại điểm E ( EA≠ ). Chứng minh rằng tứ giác DGFP là tứ giác nội tiếp và EGF = 900 . Câu 4 (1,5 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( xy; ) thỏa mãn x22 y( y−= x) 5 xy 2 − 27 . 22 2 b) Cho pp1, 2 , , p12 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng pp1+ 2 ++ p12 chia hết cho 12. Câu 5 (1,5 điểm). a+++ bc b ca c ab a) Cho abc,,> 0 và abc++=1. Chứng minh rằng ++≥2 . bc+++ ca ab b) Xét hai tập hợp AB, khác ∅ thỏa mãn AB = ∅ và AB = * . Biết rằng A có vô hạn phần tử và tổng của mỗi phần tử thuộc A với mỗi phần tử thuộc B là phần tử thuộc B . Gọi x là phần tử bé nhất thuộc B thỏa mãn x ≠ 1. Hãy tìm x. HẾT Họ và tên thí sinh: Họ tên, chữ ký GT 1: . Số báo danh: Họ tên, chữ ký GT 2:
2. 2 xx22 ⇔ −5. += 4 0 xx++11 x2 x2 ⇔=1 (1) hoặc = 4 (2) 0,25 x +1 x +1 15± + Giải (1) được x = . 0,25 2 + Giải (2) được x =2 ± 22. 15± 0,25 Tập nghiệm của phương trình là ;2± 2 2 2 Cách khác: Quy đồng, rút gọn được xxxx4−5 32 − + 8 += 40 ⇔(xx22 −−1)( x − 440 x −) =  2 15± xx− −=10 x = ⇔⇔ (thỏa mãn điều  2  2 xx−4 −= 40 x =2 ± 22 kiện) x(2 x + 1) = yx( +− y 21) + (1) Xét hệ  4xy++ 3 2 += 2 11 − x (2) 0,25 + Điều kiện xác định: x ≥−3 và y ≥−2 . + Ta có (1) ⇔y22 + yx( −2) − 2 x −+= x 10  yx= +1 0,25 ⇔( y −−1 xy)( −+ 12 x) = 0 ⇔ .  yx=12 − + Với yx= +1, thay vào (2) ta được 11−≥x 0 2b 6xx+= 3 11 −⇔ ⇔=x29 − 6 23 .  2 0,25 1,0đ 36( xx+= 3) ( 11 −) Khi x =29 − 6 23 thì yx= +=1 30 − 6 23 (thỏa mãn điều kiện). + Với yx=12 − , thay vào (2) ta được 22 4x++ 3232 − x = 11 −⇔ xx( +− 32) +( 32 − x − 1) = 0 0,25  x +=32 ⇔ ⇔=x 1. Khi đó có yx=−=−12 1 (thỏa mãn điều kiện).  32−=x 1 Trang 2/5-Đáp án
3. Suy ra DOG = PKG (1). 0,25 + Tam giác PKG cân ở K và tam giác DOG cân ở O (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác này đồng dạng với nhau. 00GKP 3b Có MGP ==−=− KGP 90 90 DAG 0,5 1,0đ 2 Mặt khác DAG = DMG nên MGP += DMG 900 , suy ra GP⊥ DM 0,5 Ta có FPG = KPG = ODG = FDG , suy ra tứ giác DGFP nội tiếp 0,5 Suy ra DFG = DPG . Tứ giác APGE nội tiếp nên DPG = AEG . 3c 0,25 1,0đ Suy ra AEG= DFG hay HEG = DFG với H là giao điểm của OD và AE . Suy ra tứ giác HEGF nội tiếp. OD⊥ BC nên OD⊥ AE , suy ra FHE = 900 , do đó EGF =−=18000 FHE 90 . 0,25 Câu 4 (1,5 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( xy; ) thỏa mãn x22 y( y−= x) 5 xy 2 − 27 . 22 2 b) Cho pp1,,, 2 p 12 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng pp1+ 2 ++ p12 chia hết cho 12. Ý Nội dung Điểm * 23 2 + Giả sử có xy, ∈ thỏa mãn yêu cầu. Ta có y( x−+= xy5 x) 27 (1). 0,25 Suy ra 27 chia hết cho y2 nên y2 ∈{1; 9} hay y ∈{1; 3}. + Xét y =1, thay vào (1) có x32− x +5 x = 27 ⇔ xx( 2 −+ x 5) = 27 . 4a 27 0,75đ Điều này chứng tỏ x là ước nguyên dương của 27 và có 5xx≤ 27 ⇔≤ , suy ra 0,25 5 x =1 hoặc x = 3. Thử trực tiếp hai trường hợp này thấy không thỏa mãn. + Xét y = 3, thay vào (1) có xxx32−3 + 5 −=⇔ 30( x − 2)( xx2 − 2 + 3) = 0⇔=x 1. 0,25 Vậy ( xy;) = ( 1; 3) . + Với p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng pk=±∈61( k * ) 0,25 22 4b Suy ra p−=1 36 kk ± 12 chia hết cho 12. 0,25 22 2 0,75đ + Áp dụng có ( pp1 −+1) ( 2 −++ 1) ( p12 − 1) chia hết cho 12 0,25 22 2 Suy ra pp1+ 2 ++ p12 chia hết cho 12. Cách viết khác: + Từ pk=±∈31( k * ) suy ra p22−=19 kk ± 6 chia hết cho 3. + Từ pk=±∈41( k * ) , khi đó có p22−=1 16 kk ± 8 chia hết cho 4. Suy ra p2 −1 chia hết cho 12. 22 2 + Áp dụng suy ra pp1+ 2 ++ p12 chia hết cho 12. Trang 4/5-Đáp án
4. - Tổng điểm toàn bài không làm tròn. HẾT Trang 6/5-Đáp án