Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Năm học: 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 04/06/2021 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (2,00 điểm) a) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức 2 1 3 10 6 3 2 1 2 10 6 3 T . 2 2 2 3 2 2 2 3 b) Với mọi số nguyên dương n , chứng minh A n2 n 2( n 1) 2 ( n 1) 2 là số nguyên dương nhưng không là số chính phương. Câu 2. (2,00 điểm) Cho các phương trình ( ẩn x ) ax2 bx c 0 1 và cx2 bx a 0 2 với abc, , là các số thực dương thỏa mãn ab 4 c 0 . a) Chứng minh các phương trình 1 và 2 đều có hai nghiệm dương phân biệt. b) Gọi x1; x 2 là hai nghiệm của phương trình 1 và x3; x 4 là hai nghiệm của phương trình 2 . 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . xxx123 xxx 234 xxx 311 xxx 412 Câu 3. (1,50 điểm) a) Phân tích đa thức Pxy( , ) 4 x3 3 xy 2 y 3 thành nhân tử. Từ đó chứng minh 4x2 y 3 3 xy 2 với mọi số thực x; y thỏa mãn x y 0 . 3 3 3 3 b) Cho các số thực xx1;;, 2 x 21 thỏa mãn xx1; 2 ; : x 21 2 và xxx1 2 3  x 21 12 . Chứng minh xx1 2  x 21 18 Câu 4. ( 3,00 điểm) Cho ABC vuông tại A . Các đường tròn O đường kính AB , và (I ) đường kính AC cắt nhau tại điểm thứ hai là HH A . Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn O tại M và cắt đường tròn I tại N ( A nằm giữa hai điểm M và N ). a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn (O ) , ( I ) lần lượt tại D, E . Chứng minh OI là đường trung trực của đoạn thẳng AH và AB AC BC 2 DE . b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyển trên một đường tròn cố định khi đường thẳng (d) quay quanh#A. c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường trong I tại điểm thứ hai là TT ( H ) . Chứng minh rằng ba điểm N,, IT thẳng hàng và ba đường thẳng MS,, AT NH đồng quy. Câu 5. (1,50 điểm) a) Hai số tư nhiên khác nhau được gọi là "thân thiết" nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3 . Hỏi tập họp X {1;2;3;  ;2021} có bao nhiêu cặp số "thân thiết" (không phân biệt thứ tự)?
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Ý Đáp án Điểm Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức 2 1 3 10 6 3 2 1 3 10 6 3 1,00 T . 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 10 6 3 2 1 3 10 6 3 T 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 10 6 3 2 1 3 10 6 3 4 4 2 3 4 4 2 3 0,25 2 4 2 3 3 1 3 1 2 4 2 3 3 1 3 1 3 3 10 6 3 3 1 3 1 3 a) 0,25 3 3 3 Câu 1 10 6 3 1 3 1 3 (2,00 điểm) Suy ra 2 1 1 3 2 1 1 3 T 4 3 1 4 3 1 4 2 3 4 2 3 5 3 5 3 4 2 3 5 3 4 2 3 5 3 0,50 5 3 5 3 5 3 5 3 14 6 3 14 6 3 22 22 28 14 22 11 14 Vậy T 11 Với mọi số nguyên dương n, chứng minh 2 2 b) A n2 n 2 n 1 n 1 là số nguyên dương 1,00 nhưng không phải là số chính phương.
3. 1 0 S1 0 Phương trình 1 có hai nghiệm dương phân P1 0 biệt. 2 0 S2 0 Phương trình 2 có hai nghiệm dương phân P2 0 biệt. Gọi x1; x 2 là hai nghiệm của phương trình 1 , x3; x 4 là hai nghiệm của phương trình 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất 1,00 1 1 1 1 của biểu thức T . xxx123 xxx 234 xxx 341 xxx 412 Theo định lý Vi-ét ta có: b c b a 0,25 xx ; xx ; xx ; xx 1 2aa 1 2 3 4 c 3 4 c 1 1 1 1 T xxx123 xxx 234 xxx 341 xxx 412 xx x x 1 2 3 4 xxxx1 2 3 4 b b 0,25 b) a c c a . a c b b a c a 4 ca 4 c a c 0,25 4c a 5 a c Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 4c a 4 c a T 5 5 2 . 9 . ac ac 0,25 Dấu “=” xảy ra a2 cb , 6 c . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 9. Phân tích đa thức Pxy, 4 x3 3 xy 2 y 3 thành nhân Câu 3 a) tử. Từ đó chứng minh 4x3 y 3 3 xy 2 với mọi số thực 0,75 (1,50 điểm) x, y thỏa mãn x y 0.
4. Cho ABC vuông tại A. Các đường tròn O đường kính AB và I đường kính AC cắt nhau tại điểm thứ hai là HH A . Đường thẳng d thay đổi đi qua Acắt đường tròn O tại M và cắt đường tròn I tại N ( A 1,00 nằm giữa M và N ). Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn O , I lần lượt tại D, E . Chứng minh OI là đường trung trực của đoạn thẳng AH và AB AC BC 2 DE . Câu 4 a) (3,00 điểm) Ta có: OA OH (cùng là bán kính của O ) 0,25 IA IH (cùng là bán kính của I ) Suy ra OI là đường trung trực của đoạn thẳng AH . Ta có: 1 OD OA OB AB O là trung điểm AB . 2 0,25 1 IE IA IC AC I là trung điểm AC . 2 Xét ABC ta có: O là trung điểm AB I là trung điểm AC 0,25 Suy ra OI là đường trung bình của ABC 1 OI BC . 2
5. Ta có MHN  90 THN  90 TN là đường kính của I 0,25 N,, IT thẳng hàng. NT là đường kính của I  NAT 90  TA  NM 0,25 THN  90 NH  MT 0,25 MSN  90 MS  NT Xét MNT ta có MS,, NH AT là ba đường cao. 0,25 Do đó MS,, NH AT đồng quy. Hai số tự nhiên khác nhau được gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3. Hỏi tập hợp 0,75 X 1;2; ;2021 có bao nhiêu cặp số “thân thiết” (không phân biệt thứ tự)? Ta có nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 sẽ có số dư là 0 hoặc 1. 2 2 Giả sử a và blà hai số “thân thiết” a b 3. Ta sẽ chứng minh cả a và b đều chia hết cho 3. Câu 5 a) Thật vậy, giả sử trong hai số a và bcó một số không chia (1,50 điểm) hết cho 3. Không mất tính tổng quát, giả sử số đó là a . 0,50 Suy ra a2 chia 3 dư 1. 2 2 2 2 Vì a b 3 và a chia 3 dư 1 nên b phải chia 3 dư 2. Điều này vô lí vì b2 khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vậy điều giả sử là sai. Do đó nếu a và blà hai số “thân thiết” thì a và b đều chia hết cho 3. 2021 Tập hợp X có 673 số chia hết cho 3. 0,25 3