Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2022 môn Toán (Chung) - Trường Đại học sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào trường trung học phổ thông chuyên năm 2022 môn Toán (Chung) - Trường Đại học sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

1. Giải chi tiết đề thi Toán (điều kiện) chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim 2 Câu 2 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng (d): y ax b biết (d) đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng y 3x 1. = + − = − + b) Một cửa hàng kinh doanh điện máy sau khi nhập về chiếc tivi, đã bán chiếc tivi đó; cửa hàng thu được lãi là 10% của giá nhập về. Giả sử cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc tivi đó thêm 5% của giá đã bán, nhưng bớt cho khách hàng 245000 đồng, khi đó cửa hàng sẽ thu được tiền lãi là 12% của giá nhập về. Tìm giá tiền khi nhập về của chiếc tivi đó. Lời giải. a) Ta có đường thẳng d đi qua điểm A(2; 1) nên ta có 2a b 1. − + = − Mặt khác (d) song song vói y 3x 1 nên = − +   a 3  = − b 1 a 3; b 5.  ̸= ⇒ = − =  2a b 1 + = − Vậy phương trình đường thẳng d là y 3x 5. = − + b) Gọi giá nhập về của chiếc tivi đó là x (đồng). Theo đề cửa hàng thu lãi x x , tức là giá đã bán là x . Nếu cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc 10 + 10 tivi đó thêm 5% giá đã bán và bớt cho khách hàng 245000 đồng, khi đó x 5 ³ x ´ giá bán ra là x x 245000. Theo đề khi đó cửa hàng thu + 10 + 100 + 10 − lãi là 12% của giá nhập về, kéo theo x 5 ³ x ´ 12 x x 245000 x x. + 10 + 100 + 10 − = + 100 Từ đó dễ tính được x 7000000. = Vậy giá nhập về của chiếc tivi đó là 7 triệu đồng. 3 Câu 3 Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O), điểm D thuộc cung AB nhỏ (D khác A,B). Các tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt AD theo thứ tự tại E,G. Gọi I là giao điểm của CE và BG. 2 01/6/2022
2. Giải chi tiết đề thi Toán (điều kiện) chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim Do đó thu được: BIC EBC GBCƒ dẫn đến các tam giác EBC và BIC = = và BCG đồng dạng với nhau. b) Từ câu a) ta đã chỉ ra BIC 120◦ và BIDE nội tiếp. = c) Ta có: CIB KIB BEI IDB dẫn đến tam giác KIB đồng dạng tam = KI= KB= giác KBD suy ra: suy ra: BK 2 KI.KD. KB = KD = Nhận xét. Ta còn có thể chỉ ra K là điểm cố định khi D di động trên cung AB nhỏ của (O). □ 4 Câu 4 a) Tìm các số thực x sao cho a x p2 và b x3 5p2 đồng thời là hai số = + = + hữu tỉ. b) Biết rằng 2 • Phương trình bậc hai x a1x b1 0 có hai nghiệm phân biệt là x0 + + = và x1. 2 • Phương trình bậc hai x a2x b2 0 có hai nghiệm phân biệt là x0 + + = và x2. • 2 • Phương trình bậc hai x a2022x b2022 0 có hai nghiệm phân biệt + + = là x0 và x2022. x1 x2 x2022 Chứng minh rằng số thực α + + ··· + là nghiệm của phương = 2022 trình bậc hai ³a1 a2022 ´ b1 b2022 x2 + ··· + x + ··· + 0. (*) + 2022 + 2022 = Lời giải. 4 01/6/2022