Đề thi vào Lớp 10 trường THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi vào Lớp 10 trường THPT chuyên môn Toán - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG TỈNH QUẢNG NAM THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN (Chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm có 01 trang) Khóa thi ngày: 14-16/6/2022 Câu 1. (2,0 điểm) a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức A=3 507 +− 13 48 − 25 . b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn xx32+=+ yy 32. Câu 2. (1,0 điểm) Cho parabol (P):yx= 2 2 và đường thẳng (d): y= ax + b . Tìm các hệ số ab, biết 3 rằng (d) đi qua điểm A 1; và có đúng một điểm chung với (P). 2 Câu 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình 33−−xx 2 3 +− x 9 − x2 + 6 x = 0. x22+4 y ++− 424 x y xy = 3 b) Giải hệ phương trình  . 22 4x++−+ y 244 x y xy = 3 Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của ABC cắt AP tại I. a) Chứng minh PI = PB. b) Chứng minh IMB = INA. Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho BDC = 2BAC (AD không vuông góc với BC). a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của BDC và tổng BD + CD bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD. Câu 6. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương xyz,, thỏa mãn xyz =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 111 P =++. 444++xy2 2 ++ yz 22 ++ zx 22 HẾT * Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. * Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. Câu Nội dung Điểm Cho parabol (P):yx= 2 2 và đường thẳng (d): y= ax + b . Tìm các hệ số ab, biết rằng 3 1,0 (d) đi qua điểm A 1; và có đúng một điểm chung với (P). 2 3 33 + (d): y= ax + b đi qua A 1; nên ab+= ⇔= b − a. 0,25 2 22 + Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 223 2 0,25 Câu 2 22x= ax +⇔ b x = ax + − a ⇔4x − 2 ax + 2 a −= 30 (*) (1,0) 2 + (d) và (P) có đúng một điểm chung khi phương trình (*) có một nghiệm duy nhất 22a=2 0,25 ⇔∆=⇔−' 0a 4(2 a −=⇔−+= 3) 0 aa 8 12 0 ⇔  a=6 19 +ab =⇒=−2 ,6 ab =⇒=− 22 0,25 1 9 Vậy ab=2, =− hoặc ab=6, =− . 2 2 Trang 2/7
3. Câu Nội dung Điểm Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của ABC cắt AP tại I. Câu 4 (2,0) (Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25 điểm) a) Chứng minh PI = PB. 0,75 Ta có BAP = CAP (vì sđ BP = sđ CP ) . 0,25 BIP = BAI + ABI = PAC + CBI = PBC + CBI = PBI. 0,5 Suy ra tam giác PBI cân tại P. Do đó PI = PB. b) Chứng minh IMB = INA. 1,0 BP NP IP NP + Trong tam giác vuông BNP tại B có: BP2 = MP.NP ⇒ = hay = . 0,25 MP BP MP IP IP NP + Hai tam giác PMI và PIN có: IPM = NPI và = nên hai tam giác này đồng dạng. MP IP 0,5 Suy ra PMI= PIN . + Ta có IMB = PMI − 900 , INA = PIN −− IAN = PMI 900 . Suy ra IMB = INA. 0,25 Trang 4/7
4. Cách khác: Kẻ AL⊥ OD tại L . Trên tia đối của tia DB lấy điểm C' sao cho DC'= DC , do đó BD+= DC BC' (1) Tam giác DCC' cân tại D nên BDC = 2.BC'C , từ đó suy ra BAC = BC'C , do đó điểm C' thuộc đường tròn (O) Có OC= O'C, DC = DC' nên OD là đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngoài của BDC . Gọi E là giao điểm của OD và BC, chứng minh được DBC = C'OE (cùng bằng DOC ) Hay C'BE = C'OE , do đó bốn điểm B,O,C',E cùng thuộc một đường tròn. Suy ra OBC' = OEC' ( cùng chắn cung OC’) Mặt khác OEB = OEC' , do đó OEB = OBC' . Lại có LAO = OEB ( góc có cạnh tương ứng vuông góc), suy ra LAO = OBC ' Kẻ OK⊥ BC' tại K , suy ra BC'= 2BK Ta có ∆=∆ALO BKO ( cạnh huyền, góc nhọn), suy ra AL= BK Suy ra BC '= 2AL (2) Từ (1) và (2) suy ra BD+= DC 2AL Trang 6/7