Đề thi thử tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (2,0 điểm) 1 1 1 a) Cho các số thực x, y, z khác 0. Đặt a x ,b y và c xy x y xy Chứng minh a2 b2 c2 abc 4 b) Cho các số thực a,bkhác 2 thỏa mãn 2a 1 2b 1 9. 1 1 Tính giá trị của biểu thức A 2 a 2 b Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình : 2x2 x 3 3x x 3 x y 2 2x 1 2y 1 b) Giải hệ phương trình : 2 x y x 2y 3x 2y 4 Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC nội tiếp đường tròn O .Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại M , N và có tâm I thuộc cạnh BC.Kẻ đường cao AH của tam giác ABC a) Chứng minh các điểm A,M ,H,I, N cùng thuộc một đường tròn và HAlà tia phân giác của góc MHN b) Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt MN tại K. Chứng minh AK đi qua trung điểm D của BC c) Tiếp tuyến của đường tròn O tại B và C cắt nhau tai S. Chứng minh B· AS C· AD Câu 4. (1,5 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 y3 xy2 1 1 b b) Cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn c a .Chứng minh ab là lập phương của b a một số nguyên dương Câu 5. (1,5 điểm) a) Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c 1.Chứng minh rằng : 1 a3 b3 c3 a4 b4 c4 8 b) Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong một chiếc túi. Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới Bước 2:Chọn 1 trong 2 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi. Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi hay không ? ĐÁP ÁN
2. Phương trình (2) tương đương x y 1 x 2y 4 0 1 Với điều kiện xác định ta có x 2y 4 1 4 0 x y 1 2 Đặt a 2x 1 0; b 2y 1 0, kết hợp (1) và x y 1ta có hệ phương trình 1 2 2 2 a b a b 8 2 2 a b 4 a b 0 Trường hợp 1: hệ vô nghiệm 2 2 , a b 4 2 a b a b 8 a b 4 2ab 8 S a b Trường hợp 2: .Đặt , 2 2 2 P ab a b 4 a b 2ab 4 Hệ trở thành: 2 S 4 2 P S 4 S 4 P 8 2 P P 0 2 2 S 2 4 S 2 S 2P 4 S 4 8 S 2; 1 5  2 1 x 2 a 0 3 y a b 2 b 2 2 ab 0 a 2 3 x b 0 2 1 y 2 Câu 3.
3. KP AK KQ Do PQ / /BC , áp dụng định lý Ta – let ta có: DB DC BD AD DC D là trung điểm của BC c) Gọi E là giao điểm của AS và BC,G là giao điểm thứ 2 của AS và O Trên cạnh BC lấy điểm D'khác E sao cho B· AE C· AD', cần chứng minh D'là trung điểm của BC GB AG Ta có: ·AGB ·ACD'và B· AG CAD' AGB : ACD' 1 CD' AC GC AG Ta có: AGC ABD' C· AG B· AD' AGC : ABD' 2 BD' AB SB BG Ta có: SBG SAB SBG : SAB SA AB SC CG CG BG Chứng minh tương tự ta được 3 SA AC CA BA Từ (1), (2), (3) suy ra CD' BD' D'là trung điểm của BC(dfcm) Câu 4. a) Ta có: x3 y2 xy2 1 x3 1 y2 x 1 0 x 1 x2 x 1 y2 0 x 1 y ¢ 2 2 y x x 1(1) 1 2y 2 2x 1 2 3 2y 2x 1 2y 2x 1 3 1.3 3.1 1 . 3 3 . 1 Lập bảng xét các trường hợp ta thu được x, y 0;1 ; 0; 1 ; 1; 1 ; 1;0  Vậy tập các giá trị x, y 0;1 ; 0; 1 ; 1; 1 ; 1;0 ;(1; y)y ¢  1 b b) Ta có: c a abc a a2b b2 b a Suy ra ab , đặt a bk,k ¥ *, thay vào điều kiện ta được: b2kc bk b3k 2 b2 bkc k b2k 2 b Suy ra bchia hết cho k và k chia hết cho b nên b k ab b3 (dfcm) Câu 5. a) Xét hiệu a3 b3 c3 a4 b4 c4 a3 1 a b3 1 b c3 1 c