Đề thi tuyển sinh Lớp 10 chuyên năm học 2021-2022 môn Toán - SGD&ĐT Vĩnh Long (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 chuyên năm học 2021-2022 môn Toán - SGD&ĐT Vĩnh Long (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TỈNH VĨNH LONG Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm) x 2x x x x 1 a) Cho biểu thức A và B 1 với x 0, x 1. Rút gọn A và chứng x 1 x x x 1 minh B > A. b) So sánh 24 26 và 10. Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y m 1 x m 4 (m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung. Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 x x 1 x 1 x x y 2 b) Giải hệ phương trình: y 3 2y x y 2 Câu 4. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương. b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 y 2xy y 32x Câu 5. (1,0 điểm) 3 Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, BE BC . Tia Ax vuông góc với AE tại 4 A cắt tia CD tại F. a) Tính diện tích AEF b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: AE2 KF .CF Câu 6. (2,0 điểm) Cho O; R và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với O (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của O tại C cắt OI tại Q. Chứng minh: a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn. b) AMB là tam giác đều. c) OQ  MQ Câu 7. (1,0 điểm) 3 x 6 x Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T x 3 x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 
2. b) ĐK: x y 2x 2x 1 x y 2x x y 2x 1 x y 1 Hệ phương trình 2y 4y x y 2y 3 x y 2 4y 3 x y Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: 2x x y 2x 4y x y 2y 2 x y x y 0 x y KTM 2 x y x 2y 0 x 2y 0 x 2y TM 2y 1 7 7 Với x 2y 2y y x 3y 2 12 6 7 x 6 Thử lại ta thấy TM 7 y 12 7 x 6 Vậy hệ pt có nghiệm là: 7 y 12 Câu 4. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương. b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 y 2xy y 32x Lời giải a) Giả sử 6 số nguyên liên tiếp lần lượt là: x; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5 x ¢ Ta có: x2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x2 x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9 x2 8x 16 x2 10x 25 x2 x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9 x2 8x 16 x2 10x 25 6x2 30x 55 2 2 32x b) Ta có: x y 2xy y 32x y x 2x 1 32x y 2 x 1 2 2 2 2 Do: x; y ¢ 32x M x 1 32x x 2 M x 1 32x2 64x 32 32 M x 1 32 M x 1 x 1 2 U 32 1;2;4;8;16;32 x 1 2 4;16  (Vì: x 1 2 1 và là số chính phương) 2 x 1 TM TH1: x 1 4 x2 2x 3 0 y 8 TM x 3 KTM 2 x 3 TM TH2: x 1 16 x2 2x 15 0 y 6 TM x 5 KTM Vậy nghiệm của pt là: x; y 1;8 ; 3;6 Câu 5. (1,0 điểm) 3 Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, BE BC . Tia Ax vuông góc với AE tại 4 A cắt tia CD tại F.
3. Câu 6. (2,0 điểm) Cho O; R và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với O (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của O tại C cắt OI tại Q. Chứng minh: a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn. b) AMB là tam giác đều. c) OQ  MQ Lời giải D A Q I 1 O M H 2 C B a) Ta có: IC ID gt OI  CD tại I (Đường kính vuông góc với dây cung đi qua trung điểm) OI là đường trung trực của CD OQ là đường trung trực của CD QD QC Xét DOQ và COQ có: QD QC cmt ; OC OD R gt ; OQ chung DOQ = COQ c.c.c ·OCQ ·ODQ 90 ·OCQ ·ODQ 180 Y DOCQ nội tiếp. OA R 1 b) Xét AOM  tại A có: sin·M ·M 30 1 OM 2R 2 1 Gọi H là giao điểm của AB và OM ta có: MA = MB (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Mà: OA = OB = R OM là đường trung trực của AB OM  AB tại H · · · HAM 90 M1 90 30 60 hay BAM 60 Mặt khác: ABM cân tại A (Vì: MA = MB) ABM đều (đpcm) c) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2 OI.OQ OD R OI OM OI.OQ OH.OM 2 2 OH.OM OA R OH OQ OI OM Xét OHI và OQM có: cmt ; ¶O chung OH OQ OHI ∽ OQM c.g .c ·OQM ·OHI 90 OQ  MQ (đpcm) Câu 7. (1,0 điểm)