Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Lào Cai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Lào Cai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn: Toán (Chuyên 1) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 03/06/2021 Đề thi gồm có 01 trang Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức với . Tìm tất cả các giá trị A : a 0; a 1; a 2 a a a a a 2 nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: xx5 2 4 2021 xx 3 3 2 2018 x 2021. Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 xm 2 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x 2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x 2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 x1 2 mx 1 2 m 1 x 2 2 mx 2 2 m 1 0. Câu 3. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh BC,, CA AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng: a) AF2 APAD. b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NMNA c) QA là phân giác của PQT d) ADF QDE Câu 4. (2,0 điểm)
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu 1. (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a 2 a) Cho biểu thức với . Tìm tất cả các giá trị A : a 0; a 1; a 2 a a a a a 2 nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên. b) Cho x 1 2021 . Tính giá trị biểu thức: xx5 2 4 2021 xx 3 3 2 2018 x 2021. Lời giải: a 0 a) Với: a 1, 2  a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 2 Ta có: A : : a a a a a 2 a a 1 a a 1 a 2 a a1 a a 1 a 2 a 2 2 a 4 8 A :  2 2 a a a 2 a 2 a 2 a 2 8 Để A 2 aU 2 8 1; 2; 4; 8  a 2 a Do: a2 5 a 2  8 aTM 6 a 1;2  Vậy a 6 A b) Đặt: Mxx 52 4 2021 xx 3 3 2 2018 x 2021 xx 5 2 4 2020 xxx 3 3 2 2 2020 xxx 2 2 2020 1. Mxxx 3 2 2 2020 xxx 2 2 2020 xx 2 2 2020 1 xx 2 2 2020 xx 3 1 1 Mà: x 1 2021 x 1 2021 x 1 2 2021 xx2 2 2020 0. M 1 Câu 2. (2,5 điểm) 1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó. 2) Cho phương trình x2 2 m 1 xm 2 5 0 (trong đó m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x 2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x 2 thỏa mãn điều kiện:
3. a) AF2 APAD. b) Tứ giác PQID nội tiếp và NB2 NMNA c) QA là phân giác của PQT d) ADF QDE Lời giải: A 1 2 T P E Q F I O 2 B C 1 D M N 1 a) Xét AFP và ADF có: AFP ADF FP ;  A Chung 2 AF AP AFP∽ ADFgg AF2 APAD (đpcm) AD AF b) Vì: AF và AE là 2 tiếp tuyến của I AI là trung trực của FE AI  FE tại Q. AP AI AF2 AQAI. (hệ thức lượng) AQAI APAD AF 2 AQ AD AP AI Xét APQ và AID có: cmt ;  A Chung AQ AD APQ∽ AID cgc AQP ADI PQID nội tiếp (vì: AQP là góc ngoài tại đỉnh Q) Ta có: A1  A 2 (vì: AI là tia phân giác) N B NC  B1A 2
4. xyz3332222 xyz xyz VT 2 xyz 222 xyz 2 xyz 222 3 VTxyz 2 2 2 xyz 3 xyz 2 2 2 3 xyz 2 2 2 xyz 3.3 3 VT x2 y 2 z 2 xyz 6 Mà: x2 1 2. xxy 2 .1 2 ; 2 1 2. yyz 2 .1 2 ; 2 1 2. zz 2 .1 2 xyz2 2 2 2 xyz 3 VT 2 xyz 3 xyz 6 xyz 3 (đpcm) Câu 5. (1,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên x; y thỏa mãn phương trình: x2 2 x 2 y 2 2 xy 1 b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương x; y thỏa mãn x3 y 3 p6 xy 8. Tìm giá trị lớn nhất của p . Lời giải: a) Ta có: x2 2221 xy 2 xy x 2 2222 xy 2 xy x 2 2 xyyy 2 2 22 x xyxyy2 221232 y xy 2 2 xyy 13 2 xy 2 2114 xy y 2 xy1 2 y 1 2 4 02 2 2 xy 1 0 xy 1 0 y 1 0 y 1 0    y 1 2 y 1 2 xy 1 2 xy 1 2 x 4 x 0 y 1 y 1    y 3 y 1 x 0 x 4 Vậy x; y 4;3;0;1;0;1;4;1. b) Ta có: xyp3 36 xy 8 pxy 3 3 6 xy 8 pxy 3 3 xyxy 6 xy 8 pxy 38 3 xyxy 2 pxy 2 xy 2 2 xy 4 3 xy x y 2 1 2 Do p là số nguyên tố nên: 2 xy 2 xy 4 3 xy 1 xy 2 xy 4 3 xy 1 (Vì: xy; xy 2 4 ) xy 2 2 xy 431 xy x2 2 xyy 2 2233 xyxy xxyy 2 2 223 xy 4xxyyxy2 4 4 2 8 8 12 2 xyy 2 3 2 4 2 xy 4 12 y 12 4