Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên năm học 2021-2022 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên năm học 2021-2022 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 08/6/2021 Môn: TOÁN (CHUYÊN) SBD: Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang gồm 5 câu Câu 1 (2,0 điểm). x 1 x 1 8 x x x 3 1 Cho biểu thức P : (với x 0, x 1). x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các số thực x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2 (2,0 điểm). a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2mx m 1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 3. b) Giải phương trình 8 5x 1 6 2x 3 7x 29. Câu 3 (1,0 điểm). Cho ba số thực x, y, z 5;7. Chứng minh rằng xy 1 yz 1 zx 1 x y z. Câu 4 (1,5 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n2 2n 7 và n2 2n 12 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó. Câu 5 (3,5 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AE. Gọi D là một điểm bất kì trên cung B»E không chứa điểm A ( D khác B và E ). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên các đường thẳng BC, CA và AB. a) Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng. AC AB BC b) Chứng minh  DI DK DH c) Gọi P là trực tâm của ABC, chứng minh đường thẳng HK đi qua trung điểm của đoạn thẳng DP. Hết
2. Câu Nội dung Điểm 2 4 x x 4 x 4 x 2 Ta có: 1 P 1 0 suy ra P 1. 0,25 x 4 x 4 x 4 Do đó 0 P 1 mà 푃 ∈ 푍 nên P 0 hoặc P 1. 0,25 Với P 0 thì x 0 (thỏa mãn). Với P 1 thì x 2 0 x 4 (thỏa mãn). 0,25 Vậy x 0; x 4 thì P nhận giá trị nguyên. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2mx m 1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị 2 của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa 2,0 điểm mãn x1 x2 3. b) Giải phương trình: 8 5x 1 6 2x 3 7x 29. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P : x2 2mx m 1 x2 2mx m 1 0 1 2 2 1 3 Ta thấy ' m m 1 m 0, với mọi m ¡ . 0,25 2 4 Suy ra phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt với mọi m ¡ . Do đó đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi m ¡ . Ta có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 1 a x1 x2 2m 0,25 Áp dụng định lí Vi-ét ta được x1  x2 m 1 2 2 Ta có x1 x2 3 x1 x2 3 x1 x2 4x1x2 3 0. 0,25 2 1 4m2 4m 1 0 2m 1 0 m . 2 1 Vậy m thì d và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 0,25 2 x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3. 1 Điều kiện: x . 5 0,5 b Ta có: 8 5x 1 6 2x 3 7x 29. 5x 1 8 5x 1 16 2x 3 6 2x 3 9 0 HDC TOÁN CHUYÊN trang 2/5
3. Câu Nội dung Điểm a 2 TM 0,5 b a 1 b 3 a 2 2 2 b ab a 19 a 3 b 3 L b 2 2 n 3 (L) n 2n 15 0 n 5 n 5 (TM ) 0,5 Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AE. Gọi D là một điểm bất kì trên cung B»E không chứa điểm A ( D khác B và E ). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên các đường thẳng BC, CA và AB. 5 a) Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng. 3,5 điểm AC AB BC b) Chứng minh  DI DK DH c) Gọi P là trực tâm của ABC, chứng minh đường thẳng HK đi qua trung điểm của đoạn thẳng DP. Hình vẽ S A R P O I B H C Q E K D Tứ giác BKDH nội tiếp K· BD K· HD 1 . 0,25 a Tứ giác ABDC nội tiếp K· BD ·ACD 2 (cùng bù với ·ABD ) HDC TOÁN CHUYÊN trang 4/5