Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Đắk Nông (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - SGD&ĐT Đắk Nông (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐẮ K NÔN G Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang xx−1xx+12x Bài 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức P =− : với x > 0 và x ≠1. x−1x+1x+1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tính giá trị của biểu thức P với x =32− 2 . c) Tìm x để P > 3 Bài 2 (2,0 điểm): a) Giải phương trình: (x−9)(x− 6)(x− 4)(x− 1)=− 56 . 22 2x+2y−5xy−9 x+9y +90= b) Giải hệ phương trình:  . 22 x+2y+2x+2y+210−= Bài 3 (2,0 điểm): a) Cho phương trình bậc hai: x2−23( m+1 ) x+3(m2+2) = 0 (*) với m là tham số. Tìm 22 m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx1, 2và x1+x2−2xx12=4. b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( xy; ) của phương trình: 2x2+y2− 3xy− x− y −13= 0. Bài 4 (0,5 điểm): Trên bảng đang có hai số 1 và 2. Thực hiện ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau: Mỗi lần viết lên bảng một số c= ab+ a+ b với hai số a và b đã có trên bảng. Hỏi với cách viết thêm số như trên sau một số lần hữu hạn có thể viết được số 2022 lên bảng không? Bài 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) . Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A, B là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến MNP (MN < MP). K là trung điểm của NP. a) Chứng minh các điểm AKOB,,, cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó. b) BA cắt OK tại E và MP cắt AB tại F. Chứng minh KF là phân giác trong của AKB từ đó suy ra EA. FB= EB . FA. c) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm tam giác ANP luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 6 ( 1,0 điểm): Cho ba số thực dương xyz,, thỏa mãn xyz++=3. Tìm giá trị nhỏ nhất x2y2z2 của biểu thức: P =++. 15x2+26 xy+ 8 y215y2+26 yz+ 8 z215z2+ 26zx+8 x2 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của cán bộ coi thi 1: ; Chữ ký của cán bộ coi thi 2: .
2. Đặt ax=−+2 10 x 9 . 2 a = −7 Suy ra aa( +15) +=⇔+ 56 0a 15 a +=⇔ 56 0  a = −8 22x = 2 TH1: a=−⇒−+=−⇔−+=⇔7 xx 10 9 7 xx 10 16 0  x = 8 x =5 + 22 TH2: a=−⇒−+=−⇔−+=⇔8 xx22 10 9 8 xx 10 17 0  x =5 − 22 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S =−+{2;8;5 2 2;5 2 2} 22 2x+ 2 y − 5 xy − 9 x + 9 y += 90( 1) b/ Giải hệ phương trình:  22 xy++22 xy ++−= 2210( 2) xy−2 −= 3 0 (3) Ta có (1)⇔ (x − 2 y − 3)( 2 xy −− 3) =⇔ 0  2xy−−= 3 0 (4) Đặt a= xy ++2 2, a ≥ 0. Suy ra axy22= +22 +⇒ xya2 + 2 = 2 − 2 22a =1 (2) ⇒−+−=⇔+−=⇔a 22 a 10 aa 2 30  al= −3() Suy ra xy22++=⇔++=2 21 xy 2 10( 5) xy=23 + xy=+=+23 xy 23  ⇔⇔= TH1: 22 x 1 x+2 y += 10 xx + − 20 =  x = −2 x = −2 x =1  Suy ra  hoặc  5 y = −1 y = −  2 yx=23 − yx=−=−23 yx 23  ⇔⇔= TH2: 22x 1 xy+210 += xx + 450 −=  x = −5
3. Bài 4 (0,5 điểm): Trên bảng đang có hai số 1 và 2. Thực hiện ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau: Mỗi lần viết lên bảng một số c= ab ++ a b với hai số a và b đã có trên bảng. Hỏi với cách viết thêm số như trên sau một số lần hữu hạn có thể viết được số 2022 lên bảng không? Lời giải Gọi cn() số viết lên bảng sau lần thực hiện thứ n. Ta chứng minh cn()sẽ chia 3 dư 2 với mọi n. Ta có các số viết lên bảng là: 5, 11, 17, 23, Giả sử trên bảng đang có các số đều chia 3 dư 2 và số 1. TH1: Ta chọn a=1; bk = 3 + 2 thì số viết lên là ab+ a + b =3213265 k + ++ k + = k + chia 3 dư 2. TH1: Ta chọn am=+=+3 2; bk 3 2 thì số viết lên là ababm++=(3 + 2)(3 k ++ 2) 3 m +++= 2 3 k 2 3(3 mkkm + 3 + 3 ++ 2) 2 chia 3 dư 2. Vậy các số viết lên bảng luôn chia 3 dư 2 mà 2022 chia hết cho 3 nên không thể viết được số 2022 lên bảng. Bài 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) . Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A, B là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến MNP (MN < MP). K là trung điểm của NP. a) Chứng minh các điểm AKOB,,, cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó. b) BA cắt OK tại E và MP cắt AB tại F. Chứng minh KF là phân giác trong của AKB từ đó suy ra EA FB= EB FA. c) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm tam giác ANP luôn thuộc một đường tròn cố định. Lời giải E A P K F N O M B a/ Ta có: MKO =90 ° (K là trung điểm NP) MAO =90 ° (AM là tiếp tuyến của (O)) MBO =90 ° (BM là tiếp tuyến của (O)) Suy ra A, B, K cùng nhìn MO dưới một góc vuông Suy ra ABKOM,, ,, cùng nằm trên một đường tròn đường kính OM Suy ra ABKO,, , cùng nằm trên một đường tròn đường kính OM có tâm là trung điểm OM. b/ Ta có: AKM= AOM (Tứ giác AKOM nội tiếp) BKM = BOM (Tứ giác BOKM nội tiếp)
4. xx22 ⇒ ≥ 15x22++ 26 xy 8 y 43xy+ Chứng minh tương tự, ta có: yy22 zz22 ≥ và ≥ 15y22++ 26 yz 8 z 43yz+ 15z22++ 26 zx 8 x 43zx+ Suy ra xyz2 22 P ≥++ 43xy+ 43 yz ++ 43 zx Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x2243 xy++ x 43 xy 2 x +≥2. = 4xy++ 3 49 4xy 3 49 7 Tương tự y2 43 yz+ 2 y z2 43 zx+ 2 z +≥ và +≥ 4yz+ 3 49 7 4zx+ 3 49 7 Suy ra xyz++2( xyz ++ ) xyz ++ PP+ ≥ ⇔≥ 77 7 3 Mà xyz++=3 suy ra P ≥ . 7 3 Vậy GTLN của P bằng khi xyz= = =1. 7