Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Hà Tĩnh môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên Hà Tĩnh môn Toán - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên xy, thỏa mãn 4x22 5 y 4 xy 2(2 x 3)40. y 1 1 1 b) Cho abc,, là các số thực khác không thỏa mãn 0. abc 1 1 1 Chứng minh rằng 0. a2 2 bc b 2 2 ca c 2 2 ab Câu 2. (2,5 điểm) (xy 2)(2 ) 8 a) Giải hệ phương trình 22 11 4(x y ) x y 1 3 xy . b) Giải phương trình x2 3 x 11 x 2 2 x 2. Câu 3. (1,5 điểm) 5 a) Tìm tất cả các số thực x để p là số nguyên. xx 2 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì A n2024 n 2023 n 4 n 1 không phải là số nguyên tố. Câu 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB cố định, C là một điểm chạy trên đường tròn O không trùng với A và B. Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và cắt nhau tại điểm M . Đường thẳng MB cắt AC tại F và cắt đường tròn tại E ( khác B ). a) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AC. Chứng minh tam giác OEM đồng dạng với tam giác BHM. b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng AB. Hai đường thẳng FI và CK cắt nhau tại I. Tính tỷ số khi tổng diện tích hai tam giác IAC và IBC lớn nhất. AB 1 1 2 c) Chứng minh rằng . BM BF BE Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực abc,, thỏa mãn a b c;0 ab bc ca và abc 1. 1 1 1 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a b b c a c 2 ab bc ca Câu 6. (0,5 điểm) Cho x,, y z là các số chính phương. Chứng minh rằng x 1 y 1 z 1 luôn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương. HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. 1 1 y 1 y xy 1 x y x Ta có: x 25 xy 1 2 5 41 25 x 2xx 5 2 0 x x 4 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 5 41 5 41 5 41 5 41 xy;; và ; 44 44 Câu xx2 3 11 0 2b ĐK: x 2 x 20 1,0 đ 0,25 x22 3 x 11 x 2 2 x 2 ( x 1) 5( x 2) x 2 2( x 1) Xét x 2 (không phải là nghiệm) (xx 1)2 2( 1) Xét x 2 Chia hai vế phương trình cho x 2 ta được: 5 1 . x 2 x 2 0,25 x 1 2 Đặt t ta được phương trình: tt 5 1 2 x 2 1 1 t 2 2t 1 0 t 2 2 t 5 2 t 1 22 2 t 0,25 tt 5 (2 1) 2 2 3 3tt 4 4 0 tt 2; 3 2 Khi t ta được phương trình: 3 x 12 x 10 2xx 2 3( 1) 2 x 2 3 4(xx 2) 9( 1) x 1 x 1 11 4 7 2 11 4 7 x . 0,25 9xx 22 1 0 x 9 9 11 4 7 Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm x 9 ax 1 Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách: Đặt bx 2 0. Câu 55 Ta có p 3a 2 xx 2 17 0,25 1,0 đ x 24 5 20 0 pp 1; 2 7 7 0,25 4 5 1 13 7 13 TH1: p 1 1 x x 3 0 x x . 0,25 xx 2 22
3. 1 1 1 1 S SS;. S SS S CKAB ACI2 ACK BCI 2 BCK AIC BCI 2 ABC 4 Do đoạn thẳng AB không đổi nên tổng diện tích hai tam giác IAC và IBC lớn nhất. 0,25 lớn nhất khi C điểm chính giữa AB hay K trùng tâm O. Khi đó tứ giác AOCM là hình vuông. FI IC 1 1 1 5AB2 FI IM BM. Lại có BM2 AB 2 MA 2 FM AM 2 3 6 4 0,25 AB 5 AB5 FI 1 5 BM 2 2AB 6 AB 12 M c) Ta có Câu 4c ME CE MEC MCB 0,75 đ MC CB E C MA EA 0,25 MEA MAB F MB AB I ME MA CE EA ME CE AE H . . . (1). MC MB CB AB MB CB AB B A O K Mặt khác FE CE FEC FAB FA AB FA AE FAE FBC FB BC 0,25 FE FA CE EA FE CE AE . . . (2). FA FB AB CB FB CB AB ME FE Từ (1) và (2) MB FB MB EB EB FB EB EB EB EB 1 1 2 MB FB MB FB MB FB 0,25 1 1 1 1 2 2 EB (ĐPCM). MB FB BM BF BE Câu 5 1 1 4 2 2 1,0 đ Ta sử dụng các bất đẳng thức với mn 0; 0 m n m n mn22 Dấu bằng xảy ra khi mn 1 1 1 5 0,25 P a b b c a c 2 ab bc ca 4 1 5 5 5 P a c a c22ab bc ca a c ab bc ca 5 5 2 2 10 2 Lại có: 5 0,25 ac 2 ab bc ca 22 (ac ) 4( abbcca ) ( ac ) 4 bac ( )