Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên môn Toán - Đề 2 - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 trường THPT chuyên môn Toán - Đề 2 - Năm học 2023-2024 - Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (chung) – Đề: 2 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên xã hội Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức P =+−+202422023202522024 . 2) Tìm tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng yx=+1 với trục Ox. 3) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông có cạnh huyền bằng 22cm. 4) Tính thể tích của hình nón có chiều cao bằng 8 cm và bán kính đáy bằng 6 cm. Câu 2. (1,5 điểm) xxx++−449 Cho biểu thức P =+ (với x 0 và x 9 ). xx+−23 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm x để P = 5. Câu 3. (2,5 điểm) 1) Cho phương trình xmxm2 −++−(2142 ) (1) (với m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m = 0. 22 b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn xx12+=13. 2) Giải phương trình xxx++−=+1429 . Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( ABAC ) nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường cao. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi AP là đường kính của đường tròn (O) . 1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE ABAF= AC . 2) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AFE và AP vuông góc với EF. 3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Gọi K là trực tâm của tam giác BTC. Chứng minh tứ giác AHKT là hình bình hành. Câu 5. (1,0 điểm)
2. TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1(2 điểm) 1)P 2024 2 2023 2025 2 2024 2023 2 2023 1 2024 2 2024 1 ( 2023 1)2 ( 2024 1)2 2023 1 2024 1 2023 1 2024 1 2023 2024 2) Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x+1 với trục Oy là: y 0 1 1 Vậy M(0; 1). 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền, bán kính của đường tròn đó là R 2 2 : 2 2 (cm ) Diện tích của hình tròn đó là: S R2 .( 2)2 2 2.3,14 6,28 (cm2 ) 4) Thể tích hình nón là: 1 1 V . R2 h .3,14.62 .8 301,44 (cm3 ) 3 3 Câu 2 (1,5 điểm) x 4 x 4 x 9 Cho biểu thức P (x 0;x 9) x 2 x 3 a) Rút gọn biểu thức P x 4 x 4 x 9 P x 2 x 3 ( x 2)2 (x 3)(x 3) P x 2 x 3 P x 2 x 3 P x 2 x 3 P 2 x 5 b) Tìm x để P = 5 Ta có P = 5 2 x 5 5 2 x 0 x 0 x 0(TM) Vậy x = 0 thì P = 5 Câu 3 (2,5 điểm) CLB Toán THCS Trang 2
3. TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 y A x T H F K E O B D M C Q P 1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE. AB AF. AC Xét tứ giác AEDF có AED 90 ( E là hình chiếu của D trên AB ) AFD 90 ( F là hình chiếu của D trên AC) AED AFD 90  90  180  Tứ giác AEDF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180) Xét ADB vuông tại D có DE là đường cao AD2 AE. AB (hệ thức cạnh và đường cao) Xét ADC vuông tại D có DF là đường cao AD2 AF. AC (hệ thức cạnh và đường cao) AE. AB AF. AC 2) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AFE và AP vuông góc với EF . Xét AFE và ABC có: B AC chung AE AF (do AE. AB AF. AC ) AC AB AFE∽ ABC( c ) g c AFE ABC Kẻ xy là tiếp tuyến của O tại A CLB Toán THCS Trang 4
4. TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 5 5 Điều kiện: x ; y 4 2 4x 2y Ta có: 1 4x 5 2y 5 y 2x 2x y 4x 5 2y 5 2 2x y 1 0 4x 5 2y 5 y 2x 2 1(ktm ) 4x 5 2y 5 Thay y 2x vào (2) ta có: x 1 3 x 2 2x 3 x2 a x 1 Đặt với a 0;b 0 b 3 x ta có: ab x 1 3 x x2 2x 3 a b 2 ab (3) Khi đó ta có hệ phương trình sau: 2 2 a b 4 Ta có: 3 a2 b2 2a b 4 4 ab a2 b 2 4 2a b 4 4 ab a2 b 2 2 2 ab 0 a b 2 ab 0 ab ( ab 2) 0 ab 2( loai ) a 0 x 1 y 2 Nếu ab 0 b 0 x 3 y 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 2 , 3;6  1 6 2) Xét hai số dương x,y thoả mãn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y 1 42 P 4x y x y 2 1 42 2 36 1 6 Ta có: P 4x y 2 2x 2x 2 y x x y x y x y Áp dụng bất đăng thức cô si: 2 2 2 2x 2x 33 2x.2x. 2x 2x 6 x2 x2 x2 36 36 36 y 2 y. y 12 y y y CLB Toán THCS Trang 6