Đề khảo sát chất lượng vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thọ Xuân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thọ Xuân (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG VÀO LỚP 10 THPT THỌ XUÂN NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày kiểm tra: 02/6/2022 (Đề gồm 01 trang, 05 câu) Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 25xy−= a) x2 - 3x - 4 = 0 b) xy+31 = − Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: x 2x3x21 ++x P = + + : với x ≥ 0, x ≠ 4. x - 2x + 22 4 - x x + a) Rút gọn P. 5 b) Tìm x để P = x +1 Câu 3 (2,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = (m + 1)x – m + 3 (m là tham số ) a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm A và B phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi tọa độ điểm A và điểm B là A (x1; y1) và B(x2; y2). Tìm m để 2y1 + 2y2 = (m + 1)x2 + 2 + 8 Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB, I là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, d cắt nửa đường tròn (O) tại K. Lấy điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BK, tia BM cắt đường thẳng d tại điểm C, đoạn thẳng AM cắt đường thẳng d tại điểm N, AC cắt nửa đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác BMNI là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ba điểm B, N, D thẳng hàng và tính AD.AC + BM.BC theo R c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. Chứng minh O’ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ KB 1 1 1 Câu 5 (1,0 điểm): Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: + + =1. Tìm giá trị nhỏ nhất x2 y 2 z 2 y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 của biểu thức: P = + + . x( y2+ z 2) y( z 2 + x 2) z( x 2 + y 2 ) HẾT Họ và tên thí sinh: SBD
2. b) Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có: 5 P = x +1 −25 = xx−+21 = −2( xx + 1) = 5( − 2) 0,25 −2xx − 2 = 5 − 10 0,25 −2xx − 5 = 2 − 10 −78x = − 8 0,25 =x 7  (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 Vậy Câu Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 3 2x2 = (m + 1)x – m + 3  2x2 - (m + 1)x + m - 3 = 0 (1) 0,25 Phương trình trên là phương trình bậc hai có: (m + 1)2 – 4.2.(m-3) = m2 + 2m + 1 – 8m + 24 0,25 = m2 – 6m + 25 = (m – 3) 2 + 16 Vì (m – 3)2 0 m nên (m – 3)2 + 16 16 > 0 m 0,25 Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m 0,25 Do đó đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m b) Vì x1; x2 là hoành độ giao điểm nên x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 0,25 Vì A (x ; y ) và B(x ; y ) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên 1 1 2 2 y1 = 2 ; y2 = 2
3. = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 = 900 (Gt) 0,25 0,25 Do đó: + = 900 + 900 = 1800 Suy ra tứ giác BMNI là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm B, N, D thẳng hàng và tính AD.AC + BM.BC theo R - Chứng minh N là trực tâm của tam giác ABC và BD vuông góc với AC suy ra B, 0,25 N, D thẳng hàng. - Chứng minh đồng dạng với , suy ra: 0,25 AD.AC = AI.AB (1) - Chứng minh đồng dạng với , suy ra: 0,25 BM.BC = BI.BA (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD.AC + BM.BC = AI.AB + BI.BA 0,25 = AB(AI + BI) = AB.AB = 4R2 c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. Chứng minh O’ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung nhỏ KB Lấy điểm E đối xứng với điểm B qua điểm I. Vì điểm I và điểm B cố định nên điểm E cố định. 0,25 Tam giác NBE cân tại N (vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến) suy ra: Mà (cùng phụ với ) nên . 0,25 Suy ra tứ giác AENC là tứ giác nội tiếp Do đó đường tròn ngoại tiếp tứ giác AENC cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC . Tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AENC. 0,25