Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN xxxx−11+ 2 x Bài 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức P = − : với x > 0 và x ≠1. xxx−+11+ 1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tính giá trị của biểu thức P với x =32 − 2 . c) Tìm x để P > 3. Lời giải a) Rút gọn biểu thức P . xxxx−11+ 2 x P = − : xxx−+11+ 1  ( xx−11)(xx ++11) ( + )(xx −+) 2x = − : x−+11 xx+ 1  2x =(xx + +−1) ( xx − + 1:) x +1 xx++11 = (2.x ) = 2x x b)Tính giá trị của biểu thức P với x =3 − 22. 2 Ta có: x =−=−322( 21) suy ra x =21 − 2−+ 11 2.( 2+ 1) Thay vào P ta có: P = = =22 + 21− 21− x +1 c) Tìm x để Px>⇔3 >⇔ 32 < 1 x 1 ⇔<<0 x 4 Bài 2 (2,0 điểm): a) Giải phương trình: (xxxx− 9)( − 6)( − 4)( −=− 1) 56 . 22 2x+ 2 y − 5 xy − 9 x + 9 y += 90 b) Giải hệ phương trình:  22 xy++22 xy ++−= 2210 Lời giải a/ (xxxx− 9)( − 6)( − 4)( −=− 1) 56 (1) (1) ⇔−+( xxxx2210 9)( −++= 10 24) 56 0
2. x =1 x = −5 Suy ra  hoặc  y = −1 y = −13 5 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S =(1;1, −)  −− 2; ,( −− 5;13) . 2 Bài 3 (2,0 điểm): a) Cho phương trình bậc hai: x22−2( 3 mxm + 1) + 3( += 2) 0 (*) với m là tham số. Tìm 22 m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx12, và x1+− x 224 xx 12 =. b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( xy; ) của phương trình: 2x22+ y− 3 xy −−− x y 13 = 0. Lời giải a/ Cho phương trình bậc hai: x22−2( 3 mx ++ 1) 3(3 m+ 2) = 0 (*) với m là tham số. Tìm m 22 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt xx12, và x1+− x 224 xx 12 =. * Ta có: 2 5 ∆='(3m +− 1) 1.3( 3 m22 += 2) 9 mm ++− 6 1 9 m 2 −=−>⇔> 6 6 m 5 0 m . 6 xx12+ =2(3 m += 1) 6 m + 2 Ta có:  2 xx12=96 m + 22 2 * x1+− x 224 xx 12 =⇔+( x1 x 2) − 44 xx1 2 = 2 ⇔(6mm + 2) − 492 += 6 4 ( ) ⇔36mm22 + 24 +− 4 36 m − 24 = 4 ⇔=m 1 (TMĐK) 22 Vậy m =1 thì x1+− x 224 xx 12 =. b/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( xy; ) của phương trình : 2x22+ y− 3 xy −−− x y 13 = 0. Ta có: 2x22+ y−3 xy −−− x y 13 == 0 0 ⇔(xy −− 2)(2 xy −+ 3) = 7 Ta xét các trường hợp xy−−=21 x = 1 xy−−=−2 1x =− 11 TH1: ⇔ TH2: ⇔ 2xy−+= 37 y =− 2 2xy−+=− 3 7 y =− 12 xy−−=2 7 x =− 11 xy−−=−27 x = 1 TH3: ⇔ TH4: ⇔ 2xy−+= 3 1 y =− 20 2xy−+=− 31 y = 6 Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: S ={(1; − 2) ,( −− 11; 12) ,( − 11; 20) ,( 1; 6 )}.
3. và BOM = AOM (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra AKM= BKM suy ra KF là phân giác trong của AKB . Ta có KE⊥ KF suy ra KE là phân giác ngoài của góc AKB . Theo tính chất đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ta có:  EA KA =  EB KB EA FA  ⇒=⇒EA FB = EB FA FA KA EB FB  =  FB KB A G P K T N O M J B 2 c/ Gọi J là trung điểm OM, G là trọng tâm tam giác ANP và T thuộc AJ sao cho AT= AJ . 3 Ta có M, O, A cố định nên J, T cố định . AG AT GT 2 Ta có =⇒GT// KJ ⇒= AK AJ KJ 3 Ta có KJ là đường trung tuyến tam giác vuông OKM 1 1 nên KJ= OM suy ra GT= OM 2 3 1 Suy ra G thuộc đường tròn cố định tâm T và bán kính bằng OM 3 Bài 6 ( 1,0 điểm): Cho ba số thực dương xyz,, thỏa mãn xyz++=3. Tìm giá trị nhỏ nhất xyz2 22 của biểu thức: P =++. 15x2++ 26 xyy 8 2 15 y 2 ++ 26 yzz 8 22 15 z ++ 26 zxx 8 2 Lời giải Ta có: 22 2 15268x22+ xyy + =( 43 xy +) −−( xy) ≤(43 xy +) = 43 xy +