Đề thi tuyển sinh vào trường Trung học phổ thông chuyên năm 2022 môn Toán - Trường Đại học sư phạm hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào trường Trung học phổ thông chuyên năm 2022 môn Toán - Trường Đại học sư phạm hà Nội (Có đáp án)

1. Giải chi tiết đề thi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim 2 Câu 2 Cho tam giác ABC đều ngoại tiếp (O). Cung nhỏ OB của đường tròn ngoại tiếp tam giác (OBC) cắt đường tròn (O) tại E. Tia BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. a) Chứng minh rằng: EO là tia phân giác góc CEF. b) Chứng minh rằng: ABOF là tứ giác nội tiếp. c) Gọi D là giao điểm thứ hai của CE và đường tròn (O). Chứng minh rằng A,F,D thẳng hàng. Lời giải. a) Ta có: BEC ƒBOC 120◦ do BEOC nội tiếp. Ta có: ƒFEC 180◦ 120◦ 60◦ = = = − = Ta lại có: OECƒ OBCƒ 30◦ dẫn đến: OE là phân giác góc FEC. = = b) OFEƒ OFBƒ OEFƒ OCBƒ 30◦ OABƒ. Do đó: AFOB là tứ giác nội tiếp. = = = = = 2 01/6/2022
2. Giải chi tiết đề thi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim Có hay không một cách viết 10 số như thế sao cho 6 tổng nhận được là bằng nhau. Lời giải. Giả sử 6 tổng này bằng nhau, kí hiệu các điểm như hình bên dưới. • Tổng các số trên đoạn OA là A P O. + + • Tổng các số trên đoạn OB là O B N. + + • Tổng các số trên đoạn OC là O M C + + • Tổng các số trên đoạn AC là A E C. + + • Tổng các số trên đoạn BC là B D C. + + • Tổng các số trên đoạn AB là A F B. + + Dẫn đến tổng các số trên 6 đoạn là S 3(A B C) D E F M N P và = + + + + + + + + số này chia hết cho 6 do chúng là bằng nhau. Do đó: Ta có S A B C D E F M N P(mod 2) ≡ + + + + + + + + mà S chia hết cho 2 nên tổng các số trên cũng chia hết cho 2 dẫn đến vô lý do tổng của chúng là 45 không chia hết cho 2. Vậy không tồn tại cách điền. 4 01/6/2022
3. Giải chi tiết đề thi Toán chuyên Sư Phạm CLB Toán Lim n 3 tam giác tù. − Bây giờ, cho trước n 1 điểm. Xét n điểm bất kì trong n 1 điểm đó thì + + chỉ có n 4 tam giác tù được tạo thành. Xét một điểm X không thuộc n − điểm đó. Bây giờ, ta xét tập hợp các tam giác được tạo thành từ điểm X với 2 trong số n điểm đã cho, gọi là X . • Nếu X chứa một tam giác tù thì kết hợp với n 4 tam giác tù được − tạo thành từ n điểm trước, ta suy ra điều phải chứng minh. • Nếu X không chứa tam giác tù nào thì bằng cách chứng minh tương tự với n điểm bất kì khác, ta suy ra mọi tam giác được tạo thành từ các điểm trong 2022 điểm này đều là tam giác nhọn, hiển nhiên vô lý với giả thiết quy nạp. Bài toán được chứng minh. 6 01/6/2022